O Departamento Pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos salários dos 120 funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados (em salários mínimos) da tabela abaixo.
Calcule
quartil e a mediana.
Faixa salarial
Freqüência relativa
0,25
0,40
0,20
0,15
Calcule
Faixa salarial | Freqüência relativa |
|
0,25 |
|
0,40 |
|
0,20 |
|
0,15 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística onde o Departamento Pessoal coletou os salários de 120 funcionários administrativos. A tabela mostra as faixas salariais em salários mínimos e a frequência relativa de cada faixa. Nosso objetivo aqui é calcular o primeiro quartil (Q1) e a mediana desses salários. Para isso, vamos precisar entender conceitos como frequência relativa, frequência acumulada e a fórmula para encontrar quartis e a mediana em uma distribuição de frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a frequência relativa em frequência absoluta. A frequência relativa é a proporção de funcionários em cada faixa salarial, e para encontrar a frequência absoluta, multiplicamos essa proporção pelo total de funcionários (120).
Então, temos:
Vamos calcular para cada faixa:
-
0 – 2 salários mínimos:
-
2 – 4 salários mínimos:
-
4 – 6 salários mínimos:
-
6 – 10 salários mínimos:
Passo 3
Agora, vamos construir uma tabela com as frequências absolutas e calcular a frequência acumulada. A frequência acumulada é o total de funcionários até aquela faixa salarial.
Faixa Salarial | Frequência Absoluta | Frequência Acumulada |
---|---|---|
0 – 2 | 30 | 30 |
2 – 4 | 48 | 30 + 48 = 78 |
4 – 6 | 24 | 78 + 24 = 102 |
6 – 10 | 18 | 102 + 18 = 120 |
Passo 4
Para encontrar o primeiro quartil (Q1), precisamos identificar a posição que divide os primeiros 25% dos dados. A fórmula para a posição do quartil é:
Onde $ N $ é o total de funcionários.
Então:
Isso significa que o primeiro quartil está na posição 30.
Passo 5
Vamos ver em qual faixa salarial cai a posição 30. Olhando para a frequência acumulada:
- Até a faixa 0 – 2, temos 30 funcionários.
Então, o primeiro quartil $ Q1 $ está no final da faixa de 0 – 2 salários mínimos. Portanto, $ Q1 = 2 $ salários mínimos.
Passo 6
Agora, vamos calcular a mediana. A mediana é o valor que divide os dados ao meio, ou seja, a posição $ \frac{N}{2} $.
Então, a mediana está na posição 60.
Passo 7
Vamos verificar em qual faixa salarial está a posição 60. Olhando para a tabela de frequência acumulada:
- Até a faixa 0 – 2, temos 30 funcionários.
- Até a faixa 2 – 4, temos 78 funcionários.
Como 60 está entre 31 e 78, a mediana está na faixa de 2 – 4 salários mínimos.
Passo 8
Para encontrar a mediana dentro da faixa de 2 – 4 salários mínimos, usamos a fórmula:
Onde:
- $ L $ é o limite inferior da faixa medianamente.
- $ N $ é o total de funcionários.
- $ F $ é a frequência acumulada antes da faixa da mediana.
- $ f $ é a frequência da faixa da mediana.
- $ c $ é o tamanho da classe.
Aplicando os valores:
- $ L = 2 $
- $ \frac{N}{2} = 60 $
- $ F = 30 $
- $ f = 48 $
- $ c = 2 $ (de 2 a 4)
Então:
Simplificando:
Resposta
O primeiro quartil ($ Q1 $) é igual a 2 salários mínimos e a mediana é 3,25 salários mínimos.