Lista 3: Estimação e teste de hipóteses
Suponha que duas indústrias de materiais de construção A e B produzem um material W e que em um estudo para analisar o sistema de produção entre outras características do material se estudo o tempo de vida dos materiais produzidos por ditas industrias e o número de materiais defeituosos. Com esta finalidade foram sorteados ao acaso uma amostra de 31 materiais da indústria A e 41 da indústria B e obtiveram-se os seguintes resultados:
Indústria n
Tempo Médio
de vida (em
horas)
Variância amostral Número de materiais defeituosos
A 31 45,020 31,393 4
B 41 48,041 6,758 4
Supondo que o tempo de vida dos materiais produzidos pelas indústrias A e B tem distribuição normal. Obtenha:
Com probabilidade de não cometer erro tipo I de 0,95 , pode-se afirmar que o tempo médio de vida dos materiais produzidos pela indústria B supera ao tempo médio de vida dos materiais produzidos pela indústria A em mais de 2 horas. (Use resultado em d)).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo a questão. A gente tem duas indústrias, A e B, que produzem um material chamado W. Foi feito um estudo para ver o tempo de vida desses materiais e quantos deles foram defeituosos. Tiraram amostras de 31 materiais da indústria A e 41 da indústria B. Os tempos médios de vida foram de 45,020 horas para a indústria A e 48,041 horas para a indústria B. As variâncias amostrais foram 31,393 e 6,758, respectivamente. Queremos saber, com 95% de confiança, se o tempo médio de vida dos materiais da indústria B é mais de 2 horas maior que o da indústria A. Vamos usar conceitos de estimação e teste de hipóteses para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A gente quer saber se a média do tempo de vida da indústria B é mais de 2 horas maior que a da A.
  • Hipótese nula (H₀): A diferença entre as médias é menor ou igual a 2 horas. Matematicamente, $ \mu_B - \mu_A \leq 2 $.
  • Hipótese alternativa (H₁): A diferença entre as médias é maior que 2 horas. Ou seja, $ \mu_B - \mu_A > 2 $.

Passo 3

Agora, vamos escolher o teste estatístico adequado. Como estamos comparando as médias de duas populações independentes e assumimos que os tempos de vida seguem uma distribuição normal, usamos o teste t de Student para duas amostras independentes.

Passo 4

Vamos verificar alguns pressupostos para usar o teste t:
  1. Independência das amostras: As amostras da indústria A e B foram sorteadas ao acaso e são independentes entre si.
  2. Normalidade: Foi dado que os tempos de vida seguem uma distribuição normal.
  3. Variâncias desconhecidas: As variâncias das populações não são conhecidas, mas temos estimativas pela variância amostral.
Tudo está ok para aplicar o teste t.

Passo 5

Vamos calcular a estatística de teste. A fórmula para o teste t de duas amostras é:
t = (barxB - barxA) - De
Onde:
  • $ \bar{x}_A = 45,020 $ horas
  • $ \bar{x}_B = 48,041 $ horas
  • $ s_A^2 = 31,393 $
  • $ s_B^2 = 6,758 $
  • $ n_A = 31 $
  • $ n_B = 41 $
  • $ \Delta_0 = 2 $ horas (diferença mínima que queremos detectar)
Substituindo os valores:
barxA = 45,020
Primeiro, calculamos as diferenças e as variâncias:
barxB = 48,041
sA^2 = 31,393
sB^2 = 6,758
nA = 31
Agora, substituímos de volta na fórmula:
nB = 41

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico para o teste t com nível de confiança de 95%. Como é um teste unilateral (queremos saber se é maior), procuramos o valor crítico para $ \alpha = 0,05 $.
Os graus de liberdade ($ df $) podem ser aproximados usando a fórmula de Welch:
alpha = 0,05
Calculando:
df
Arredondamos para 40 graus de liberdade. Consultando a tabela t, o valor crítico para $ t_{0,05,40} $ é aproximadamente 1,684.

Passo 7

Comparando a estatística de teste com o valor crítico:
t = 0,941 < 1,684
Como $ t $ calculado é menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com 95% de confiança, não podemos afirmar que o tempo médio de vida dos materiais produzidos pela indústria B supera o da indústria A em mais de 2 horas.

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