Uma fábrica de relógios de alta precisão pretende estudar a fiabilidade da sua produção. É escolhida uma amostra aleatória de 10 relógios. Ao fim de um mês estes relógios são confrontados com um relógio padrão e o seu desvio é registrado; resulta que a média da amostra é de 0.7 segundos e o seu desvio padrão 0.4 segundos. O que se pode afirmar com 90 \% de confiança, quanto à fiabilidade média dos relógios da fábrica?

Passo 1

O enunciado escolheu aleatoriamente n=10 relógios e, após um mês, mediu seu desvio em relação a um relógio padrão. Da amostra obteve-se média \bar x = 0,7 s e desvio padrão s = 0,4 s. Como o tamanho da amostra é pequeno e o desvio da população é desconhecido, para estimar a fiabilidade média (ou seja, o desvio médio verdadeiro \mu) vamos construir um intervalo de confiança de 90\% usando a distribuição t de Student.

Passo 2

Calculamos primeiro os graus de liberdade e o quantil crítico da t.
Os graus de liberdade são
\text{df} = n - 1 = 10 - 1 = 9.
Para nível de confiança de 90\%, temos \alpha = 0,10 e \alpha/2 = 0,05. O valor crítico é
t_{0,05,\,9} \approx 1,833.

Passo 3

Em seguida calculamos o erro padrão da média (standard error):
\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,4}{\sqrt{10}} \approx 0,126.

Passo 4

A margem de erro do intervalo é
E = t_{0,05,\,9} \times \text{SE} \approx 1,833 \times 0,126 \approx 0,232.
Logo, o intervalo de confiança para \mu fica
\bigl[\,\bar x - E,\;\bar x + E\bigr] = \bigl[\,0,7 - 0,232,\;0,7 + 0,232\bigr] = [\,0,468,\;0,932\,].

Resposta

Com 90\% de confiança, o desvio médio verdadeiro \mu dos relógios da fábrica está entre aproximadamente 0,468 s e 0,932 s.

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