Um departamento de produção usa um procedimento de amostragem para testar a qualidade de peças recém produzidos, sendo que uma das variáveis avaliada é o diâmetro das peças. O departamento utiliza a seguinte regra de decisão: se uma amostra de 10 peças (retirada 3 vezes ao dia) tiver uma variância do diâmetro maior do que " 0,005 " a linha de produção deve ser paralisada para reparos. Suponha uma amostra de peças foi coletada e as medidas de seus diâmetros (em cm) foram:
\begin{array}{lllllllll} 3,43 & 3,45 & 3,43 & 3,48 & 3,52 & 3,50 & 3,39 & 3,50 & 3,38 \end{array}
a) Obtenha as medidas de posição e dispersão destes dados.
b) A linha de produção deve ser paralisada? Justifique sua resposta

Passo 1

Resumindo: temos n=9 diâmetros coletados e precisamos calcular medidas de posição (média, mediana, moda) e de dispersão (alcance, variância amostral e desvio-padrão). Em seguida, vamos comparar a variância obtida com o limite de 0,005 para decidir se a linha deve parar (regra: parar se variância > 0,005).

Passo 2

Calcular a média, a mediana e a(s) moda(s).
A soma dos diâmetros é
\sum_{i=1}^{9}x_i = 31,08
logo a média é
\bar{x} = \frac{1}{9}\sum_{i=1}^{9}x_i = \frac{31,08}{9} = 3,4533\\ (\text{cm}).
Ordenando os dados: 3,38,\;3,39,\;3,43,\;3,43,\;3,45,\;3,48,\;3,50,\;3,50,\;3,52. Como n é ímpar, a mediana é o 5.º valor:
\text{Mediana} = 3,45\\ (\text{cm}).
As frequências mostram que 3,43 e 3,50 aparecem duas vezes, as demais uma vez. Então há duas modas:
\text{Modas} = 3,43\text{ cm e }3,50\text{ cm}.

Passo 3

Calcular alcance, variância amostral e desvio-padrão.
O alcance é
\text{Alcance} = x_{\max} - x_{\min} = 3,52 - 3,38 = 0,14\\ (\text{cm}).
A soma dos quadrados dos desvios em relação à média é aproximadamente 0,019998. Assim a variância amostral é
S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{0,019998}{8} = 0,0024998 \approx 0,0025\\ (\text{cm}^2).
E o desvio-padrão amostral fica
S = \sqrt{S^2} = \sqrt{0,0025} = 0,05\\ (\text{cm}).

Passo 4

Comparando a variância obtida com o critério:
0,0025 < 0,005,
portanto a variabilidade está dentro do aceitável e não é necessário parar a linha de produção.

Resposta

Não, a linha de produção não deve ser paralisada, pois a variância amostral de 0,0025 é menor que o limite de 0,005.

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