Ex7. Um novo método para melhorar a produção de etanol está sendo testado, e um experimento foi realizado para estudar o tempo (em horas) necessário para completar a fermentação de uma solução de substrato. Uma amostra de trinta fermentadores forneceu os seguintes tempos de fermentação (em horas):
45
47
46
45
47
44
47
46
46
47
45
48
44
47
45
44
45
46
47
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48
47
45
46
44
48
48
46
45
44
a) Construa uma tabela de frequência agrupando os dados em classes (utilize 4 classes)
b) Qual a porcentagem de fermentações que apresentaram um tempo de conclusão inferior a 46 horas?
c) Classifique como “rápida” as fermentações iguais ou inferiores a 46 horas e como “lenta” as demais. Construa as frequências para esta nova variável e esboce um gráfico apropriado.
d) Encontre a média, a moda, a mediana, o primeiro e terceiro quartis. Interprete os resultados.
e) Construa um boxplot e comente a respeito da simetria e de possíveis valores discrepantes.
f) Calcule a amplitude, a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e a diferença de quartis. Comente a respeito da variabilidade dos dados da variável tempo de fermentação.
45 | 47 | 46 | 45 | 47 | 44 | 47 | 46 | 46 | 47 | 45 | 48 | 44 | 47 | 45 |
44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 48 | 47 | 45 | 46 | 44 | 48 | 48 | 46 | 45 | 44 |
b) Qual a porcentagem de fermentações que apresentaram um tempo de conclusão inferior a 46 horas?
c) Classifique como “rápida” as fermentações iguais ou inferiores a 46 horas e como “lenta” as demais. Construa as frequências para esta nova variável e esboce um gráfico apropriado.
d) Encontre a média, a moda, a mediana, o primeiro e terceiro quartis. Interprete os resultados.
e) Construa um boxplot e comente a respeito da simetria e de possíveis valores discrepantes.
f) Calcule a amplitude, a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e a diferença de quartis. Comente a respeito da variabilidade dos dados da variável tempo de fermentação.
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de
tempos de fermentação (em horas):
Vamos estudar a distribuição de frequências (4 classes), porcentagens, variáveis categóricas (“rápida” vs “lenta”), medidas de posição (média, moda, mediana, quartis), boxplot, e medidas de dispersão (amplitude, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, IQR).
Passo 2
Construção da tabela de frequência em 4 classes iguais. Como
,
, a amplitude total é
, logo a largura de classe é
. Definimos:
Passo 3
A porcentagem de fermentações com tempo inferior a 46 h corresponde às classes 1 e 2 (valores 44 e 45):
Passo 4
Definimos variável categórica:
- “rápida”:
horas (valores 44,45,46) → casos, - “lenta”:
horas (valores 47,48) → casos.
Frequências absolutas e relativas:
Esboço de gráfico de barras:
rápida ▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇ (18)
lenta ▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇ (12)
rápida ▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇ (18)
lenta ▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇ (12)
Passo 5
Cálculo das medidas de posição usando a distribuição de valores:
- Média:
- Mediana: ordenando
, posições 15 e 16 caem em ; logo . - Moda: frequências máximas
ocorrem em e → bimodal: 45 e 47. - Quartis:
Interpretação: metade das fermentações conclui-se entre 45 h e 47 h, 25% em até 45 h e 75% em até 47 h.
Passo 6
Boxplot usa
,
,
,
,
.
IQR = ; limites de corte para outliers:
IQR =
Como todos os dados estão entre 44 e 48, não há outliers. A simetria é boa, pois desvio do mediano a
(1 h) e a
(1 h) são iguais, e dos extremos aos quartis também.
Passo 7
Medidas de dispersão:
- Amplitude:
horas. - Variância (populacional):
- Desvio padrão:
h. - Coeficiente de variação:
- Diferença de quartis (IQR):
h.
Comentário: a variabilidade é baixa (
), o que indica consistência nos tempos de fermentação (50% dos valores estão num intervalo de apenas 2 h).
Resposta
a) Tabela de frequência em 4 classes:
44 ≤ t < 45: f=5 (16,67%)
45 ≤ t < 46: f=7 (23,33%)
46 ≤ t < 47: f=6 (20,00%)
47 ≤ t ≤ 48: f=12 (40,00%)
45 ≤ t < 46: f=7 (23,33%)
46 ≤ t < 47: f=6 (20,00%)
47 ≤ t ≤ 48: f=12 (40,00%)
b)
ficaram abaixo de 46 h.
c) “rápida” (
): 18 (60%); “lenta” (
): 12 (40%). Gráfico de barras acima.
d)
h; mediana = 46 h; modas = 45 h e 47 h;
h;
h.
e) Boxplot com
,
,
,
,
; simétrico, sem outliers.
f) Amplitude = 4 h; variância = 1,8 h²; desvio padrão ≈1,34 h;
; IQR = 2 h. Variabilidade baixa e distribuição bastante concentrada em torno de 46 h.