Ex7. Um novo método para melhorar a produção de etanol está sendo testado, e um experimento foi realizado para estudar o tempo (em horas) necessário para completar a fermentação de uma solução de substrato. Uma amostra de trinta fermentadores forneceu os seguintes tempos de fermentação (em horas):
45 47 46 45 47 44 47 46 46 47 45 48 44 47 45
44 45 46 47 48 48 47 45 46 44 48 48 46 45 44
a) Construa uma tabela de frequência agrupando os dados em classes (utilize 4 classes)
b) Qual a porcentagem de fermentações que apresentaram um tempo de conclusão inferior a 46 horas?
c) Classifique como “rápida” as fermentações iguais ou inferiores a 46 horas e como “lenta” as demais. Construa as frequências para esta nova variável e esboce um gráfico apropriado.
d) Encontre a média, a moda, a mediana, o primeiro e terceiro quartis. Interprete os resultados.
e) Construa um boxplot e comente a respeito da simetria e de possíveis valores discrepantes.
f) Calcule a amplitude, a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e a diferença de quartis. Comente a respeito da variabilidade dos dados da variável tempo de fermentação.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=30 tempos de fermentação (em horas):
45,47,46,45,47,44,47,46,46,47,45,48,44,47,45,44,45,46,47,48,48,47,45,46,44,48,48,46,45,44.
Vamos estudar a distribuição de frequências (4 classes), porcentagens, variáveis categóricas (“rápida” vs “lenta”), medidas de posição (média, moda, mediana, quartis), boxplot, e medidas de dispersão (amplitude, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, IQR).

Passo 2

Construção da tabela de frequência em 4 classes iguais. Como \min=44, \max=48, a amplitude total é 4, logo a largura de classe é 4/4=1. Definimos:
\begin{array}{llcc} \text{Classe} & \text{Intervalo (h)} & f_i & f_i\%\\hline 1 & 44 \le t < 45 & 5 & \displaystyle \frac{5}{30}\times100=16,67\%\\\\ 2 & 45 \le t < 46 & 7 & 23,33\%\\\\ 3 & 46 \le t < 47 & 6 & 20,00\%\\\\ 4 & 47 \le t \le 48 & 12 & 40,00\%\\hline & \text{Total} & 30 & 100\% \end{array}

Passo 3

A porcentagem de fermentações com tempo inferior a 46 h corresponde às classes 1 e 2 (valores 44 e 45):
f_{<46}=5+7=12\quad\Longrightarrow\quad \frac{12}{30}\times100=40\%.

Passo 4

Definimos variável categórica:
  • “rápida”: t\le46 horas (valores 44,45,46) → 5+7+6=18 casos,
  • “lenta”: t>46 horas (valores 47,48) → 12 casos.
Frequências absolutas e relativas:
\text{rápida: }18\;(60\%),\qquad \text{lenta: }12\;(40\%).á
Esboço de gráfico de barras:
rápida ▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇ (18)
lenta ▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇▇ (12)

Passo 5

Cálculo das medidas de posição usando a distribuição de valores:
\begin{array}{c|ccccc} t_i & 44 & 45 & 46 & 47 & 48\\hline f_i & 5 & 7 & 6 & 7 & 5 \end{array}
  1. Média:
\bar t = \frac{\sum t_i f_i}{30} = \frac{44\cdot5 + 45\cdot7 + 46\cdot6 + 47\cdot7 + 48\cdot5}{30} = \frac{1380}{30} =46.
  1. Mediana: ordenando n=30, posições 15 e 16 caem em t=46; logo \tilde t=46.
  2. Moda: frequências máximas f_{\max}=7 ocorrem em t=45 e t=47 → bimodal: 45 e 47.
  3. Quartis:
Q_1\text{ na posição }(n+1)/4=7{,}75\approx 7\text{–}8\implies Q_1=45, \quad Q_3\text{ na posição }3(n+1)/4=23{,}25\approx23\text{–}24\implies Q_3=47.çãçã
Interpretação: metade das fermentações conclui-se entre 45 h e 47 h, 25% em até 45 h e 75% em até 47 h.

Passo 6

Boxplot usa \min=44, Q_1=45, \tilde t=46, Q_3=47, \max=48.
IQR = Q_3-Q_1=2; limites de corte para outliers:
Q_1 - 1,5\,\mathrm{IQR}=45-3=42,\quad Q_3 + 1,5\,\mathrm{IQR}=47+3=50.
Como todos os dados estão entre 44 e 48, não há outliers. A simetria é boa, pois desvio do mediano a Q_1 (1 h) e a Q_3 (1 h) são iguais, e dos extremos aos quartis também.

Passo 7

Medidas de dispersão:
  1. Amplitude: \max-\min=48-44=4 horas.
  2. Variância (populacional):
\sigma^2 = \frac{\sum f_i(t_i-\bar t)^2}{30} = \frac{54}{30}=1,8 \;(\mathrm{h}^2).
  1. Desvio padrão: \sigma=\sqrt{1,8}\approx1,34 h.
  2. Coeficiente de variação:
CV=\frac{\sigma}{\bar t}\times100\%\approx\frac{1,34}{46}\times100\%\approx2{,}9\%.
  1. Diferença de quartis (IQR): 2 h.
Comentário: a variabilidade é baixa ( CV\approx3\%), o que indica consistência nos tempos de fermentação (50% dos valores estão num intervalo de apenas 2 h).

Resposta

a) Tabela de frequência em 4 classes:
44 ≤ t < 45: f=5 (16,67%)
45 ≤ t < 46: f=7 (23,33%)
46 ≤ t < 47: f=6 (20,00%)
47 ≤ t ≤ 48: f=12 (40,00%)
b) 40\% ficaram abaixo de 46 h.
c) “rápida” ( t\le46): 18 (60%); “lenta” ( t>46): 12 (40%). Gráfico de barras acima.
d) \bar t=46 h; mediana = 46 h; modas = 45 h e 47 h; Q_1=45 h; Q_3=47 h.
e) Boxplot com \min=44, Q_1=45, \tilde t=46, Q_3=47, \max=48; simétrico, sem outliers.
f) Amplitude = 4 h; variância = 1,8 h²; desvio padrão ≈1,34 h; CV≈2,9\%; IQR = 2 h. Variabilidade baixa e distribuição bastante concentrada em torno de 46 h.

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