Ex8. Um órgão regulador está interessado em estabelecer padrões para o rendimento de bioprodutos (em gramas por litro) obtidos em diferentes fermentadores durante um processo de fermentação industrial. Após um levantamento realizado em 10 fermentadores, os seguintes rendimentos foram obtidos:
Fermentador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Rendimento (\mathrm{g} / \mathrm{L}) 20 16 14 8 19 15 14 16 19 18
Será considerado como “rendimento básico” a média obtida das observações após os seguintes procedimentos:
  1. Calcule a média e o desvio padrão dos dados originais.
  2. Elimine do conjunto de dados aquelas observações que forem superiores à média inicial mais duas vezes o desvio padrão ou inferiores à média inicial menos duas vezes o desvio padrão.
    Assim, qual seria o valor do “rendimento básico” dos fermentadores após a aplicação desse procedimento?

Passo 1

O enunciado dá os rendimentos (em g/L) em 10 fermentadores:
20, 16, 14, 8, 19, 15, 14, 16, 19, 18.
Queremos chamar de “rendimento básico” a média após remover observações que sejam maiores que \bar x+2\sigma ou menores que \bar x-2\sigma, onde \bar x é a média inicial e \sigma é o desvio‐padrão.

Passo 2

Calcular a média e o desvio‐padrão dos 10 valores. A média é
\bar x = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} x_i = \frac{159}{10} = 15,9.
Para o desvio‐padrão populacional usamos
\sigma = \sqrt{\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar x)^2} = \sqrt{\frac{110{,}90}{10}} = 3,33.

Passo 3

Determinamos os limites
\bar x - 2\sigma = 15,9 - 2\cdot3,33 = 9,24, \quad \bar x + 2\sigma = 15,9 + 2\cdot3,33 = 22,56.
Eliminamos observações fora desse intervalo. O único valor abaixo de 9,24 é 8. Então removemos o rendimento 8.

Passo 4

Com os 9 valores restantes (20, 16, 14, 19, 15, 14, 16, 19, 18), calculamos a nova média:
\bar x_{\text{novo}} = \frac{1}{9}\sum_{\text{restantes}} x_i = \frac{151}{9} \approx 16,78.

Resposta

O rendimento básico, após remoção de outliers, é 16,78 g/L.

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