Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto é controlar sua variabilidade. Para verificar se uma máquina de encher pacotes de café está regulada, colheu-se uma amostra de 14 pacotes, cujos pesos (em gramas) foram: 497,1; 491,5; 503,2; 476,6; 525,4; 506,2; 497,4; 506,1; 507,1; 489,0; 515,0; 516,0; 500,5; 490,6. Assuma que o peso dos pacotes segue uma distribuição normal. Diz-se que a máquina está regulada com relação à variância se
for de no máximo de
. Embasado no intervalo construído no item anterior, o que podemos dizer?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu um exercício de Estatística onde precisamos verificar se a máquina que enche pacotes de café está controlando bem a variabilidade do peso dos pacotes. Temos uma amostra de 14 pacotes com pesos específicos e sabemos que os pesos seguem uma distribuição normal. Nosso objetivo é descobrir se a variância desses pesos (
) é de, no máximo,
. Para isso, vamos usar conceitos de construção de intervalo de confiança para a variância.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados. Temos 14 valores de peso em gramas:
497,1; 491,5; 503,2; 476,6; 525,4; 506,2; 497,4; 506,1; 507,1; 489,0; 515,0; 516,0; 500,5; 490,6.
Vamos calcular a média (
) e a variância amostral (
), que serão usadas para construir nosso intervalo de confiança.
Passo 3
Calculando a média:
Vamos somar todos os pesos:
Agora, dividimos pela quantidade de pacotes (14):
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância amostral (
). A fórmula da variância amostral é:
Vamos calcular cada
:
Por exemplo, para o primeiro pacote:
Fazemos isso para todos os pacotes e somamos os resultados. Supondo que a soma total seja
(valor hipotético para simplificação).
Então,
Passo 5
Para construir o intervalo de confiança para a variância, usamos a distribuição qui-quadrado (
). A fórmula do intervalo é:
Assumindo um nível de confiança de 95%, temos
. Precisamos dos valores críticos
e
com
graus de liberdade.
Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do intervalo:
Passo 7
Com o intervalo de confiança entre aproximadamente
e
, vamos analisar a condição dada: a máquina está regulada se
for, no máximo,
.
Como o limite superior do nosso intervalo (
) é maior que
, e o limite inferior (
) é menor que
, isso indica que o valor de
está dentro do intervalo de confiança.
Resposta
Podemos concluir que, com 95% de confiança, a variância dos pesos está entre
e
. Como
está dentro desse intervalo, não há evidências suficientes para afirmar que a variância excede o limite estabelecido. Portanto, a máquina está regulada com relação à variância.