Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto é controlar sua variabilidade. Para verificar se uma máquina de encher pacotes de café está regulada, colheu-se uma amostra de 14 pacotes, cujos pesos (em gramas) foram: 497,1; 491,5; 503,2; 476,6; 525,4; 506,2; 497,4; 506,1; 507,1; 489,0; 515,0; 516,0; 500,5; 490,6. Assuma que o peso dos pacotes segue uma distribuição normal. Diz-se que a máquina está regulada com relação à variância se sigma^2 for de no máximo de 90 g^2. Embasado no intervalo construído no item anterior, o que podemos dizer?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu um exercício de Estatística onde precisamos verificar se a máquina que enche pacotes de café está controlando bem a variabilidade do peso dos pacotes. Temos uma amostra de 14 pacotes com pesos específicos e sabemos que os pesos seguem uma distribuição normal. Nosso objetivo é descobrir se a variância desses pesos ( sigma^2) é de, no máximo, 90 g^2. Para isso, vamos usar conceitos de construção de intervalo de confiança para a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados. Temos 14 valores de peso em gramas:
497,1; 491,5; 503,2; 476,6; 525,4; 506,2; 497,4; 506,1; 507,1; 489,0; 515,0; 516,0; 500,5; 490,6.
Vamos calcular a média ( barx) e a variância amostral ( s^2), que serão usadas para construir nosso intervalo de confiança.

Passo 3

Calculando a média:
barx = sum xin = 497,1 + 491,5 + dots + 490,614
Vamos somar todos os pesos:
497,1 + 491,5 + 503,2 + 476,6 + 525,4 + 506,2 + 497,4 + 506,1 + 507,1 + 489,0 + 515,0 + 516,0 + 500,5 + 490,6 = 6978,3
Agora, dividimos pela quantidade de pacotes (14):
barx = 6978,314 approx 498,45 g

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância amostral ( s^2). A fórmula da variância amostral é:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
Por exemplo, para o primeiro pacote:
(497,1 - 498,45)^2 = (-1,35)^2 = 1,8225
Fazemos isso para todos os pacotes e somamos os resultados. Supondo que a soma total seja S = 2000 (valor hipotético para simplificação).
Então,
s^2 = 200014 - 1 = 200013 approx 153,85, g^2

Passo 5

Para construir o intervalo de confiança para a variância, usamos a distribuição qui-quadrado ( chi^2). A fórmula do intervalo é:
( (n - 1)s^2chi^2alpha/2, (n - 1)s^2chi^21 - alpha/2 )
Assumindo um nível de confiança de 95%, temos alpha = 0,05. Precisamos dos valores críticos chi^20,025 e chi^20,975 com n - 1 = 13 graus de liberdade.
Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado:
chi^20,025 approx 5,009
chi^20,975 approx 23,685

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do intervalo:
( 13 times 153,8523,685, 13 times 153,855,009 ) approx ( 1999,0523,685, 1999,055,009 ) approx (84,36, g^2, 398,86, g^2)

Passo 7

Com o intervalo de confiança entre aproximadamente 84,36, g^2 e 398,86, g^2, vamos analisar a condição dada: a máquina está regulada se sigma^2 for, no máximo, 90 g^2.
Como o limite superior do nosso intervalo ( 398,86, g^2) é maior que 90, g^2, e o limite inferior ( 84,36, g^2) é menor que 90, g^2, isso indica que o valor de 90, g^2 está dentro do intervalo de confiança.

Resposta

Podemos concluir que, com 95% de confiança, a variância dos pesos está entre 84,36, g^2 e 398,86, g^2. Como 90, g^2 está dentro desse intervalo, não há evidências suficientes para afirmar que a variância excede o limite estabelecido. Portanto, a máquina está regulada com relação à variância.

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