De uma produção de 200 chapas galvanizadas, escolheram-se, ao acaso, 16 delas e mediu-se a espessura de cada uma, resultado uma espessura média de 0,43 mm e um desvio padrão de 0,025 mm. Supondo que a espessura da chapa galvanizada tem distribuição normal: Determine um intervalo com 99% de confiança para a espessura média das chapas galvanizada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre medir a espessura média de chapas galvanizadas. Temos uma produção de 200 chapas, mas escolhemos aleatoriamente 16 delas para medir. A média dessas medidas foi de 0,43 , mm com um desvio padrão de 0,025 , mm. Queremos descobrir um intervalo de confiança de 99% para a espessura média das chapas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição normal e intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual fórmula usar para calcular o intervalo de confiança. Como temos uma amostra pequena ( n = 16) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student. A fórmula para o intervalo de confiança é:
barx pm talpha/2 cdot sraizn
onde:
  • barx é a média da amostra,
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado,
  • s é o desvio padrão da amostra,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos identificar cada componente da fórmula com os valores que temos:
  • Média da amostra ( barx) = 0,43 mm
  • Desvio padrão da amostra ( s) = 0,025 mm
  • Tamanho da amostra ( n) = 16
  • Nível de confiança = 99%, então alpha = 1 - 0,99 = 0,01, e alpha/2 = 0,005

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico talpha/2 para 99% de confiança e df = n - 1 = 15 graus de liberdade. Consultando a tabela t de Student ou usando uma calculadora estatística, encontramos que:
t0,005 approx 2,947

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão da média, que é:
sraizn = 0,025raiz16 = 0,0254 = 0,00625 , mm

Passo 6

Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico pelo erro padrão:
Mar>=m de Erro = t0,005 cdot sraizn = 2,947 times 0,00625 approx 0,0184 , mm

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 99% para a espessura média das chapas galvanizadas é:
0,43 , mm pm 0,0184 , mm
Ou seja, entre aproximadamente 0,4116 mm e 0,4484 mm.

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