Um departamento recebe oito chamadas por hora. Qual a probabilidade de que:
em 30 minutos ocorram pelo menos duas chamadas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: o departamento recebe 8 chamadas por hora.
  • Informação: o intervalo de interesse é de 30 minutos.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, nesse intervalo de 30 minutos, ocorram pelo menos duas chamadas?

Passo 2

Por que modelar o número de chamadas com uma distribuição específica?
Quando temos contagem de eventos (chamadas) que ocorrem de forma independente ao longo do tempo, com uma taxa média constante por unidade de tempo, o modelo mais adequado e simples é o processo de Poisson. Aqui as chamadas são contagens em um intervalo de tempo fixo e o enunciado nos dá uma taxa média ( 8 por hora), então é natural usar a distribuição de Poisson. Vou explicar a fórmula e como aplicá-la passo a passo.

Passo 3

A fórmula da distribuição de Poisson para o número de ocorrências N em um intervalo é
P(N=k)=\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • k é o número de ocorrências (um inteiro 0,1,2,\dots);
  • \lambda é o valor esperado (média) do número de ocorrências no intervalo considerado;
  • \mathrm{e} é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2{,}71828\ldots).
    Aqui precisamos calcular \lambda para o intervalo de 30 minutos. A taxa é 8 chamadas por 1 hora, logo para 0{,}5 hora:
\lambda = 8 \times 0{,}5 = 4.

Passo 4

A probabilidade pedida é “pelo menos duas chamadas”, isto é P(N\ge 2). É mais fácil usar o complemento:
P(N\ge 2)=1-P(N=0)-P(N=1).
Vou calcular P(N=0) e P(N=1) usando a fórmula da Poisson com \lambda=4.

Passo 5

Calcular P(N=0):
P(N=0)=\mathrm{e}^{-4}\frac{4^{0}}{0!}=\mathrm{e}^{-4}.
Calcular P(N=1):
P(N=1)=\mathrm{e}^{-4}\frac{4^{1}}{1!}=4\mathrm{e}^{-4}.
Somando:
P(N=0)+P(N=1)=\mathrm{e}^{-4}+4\mathrm{e}^{-4}=5\mathrm{e}^{-4}.
Portanto
P(N\ge 2)=1-5\mathrm{e}^{-4}.

Passo 6

Vamos dar uma aproximação numérica para facilitar a interpretação. Primeiro, \mathrm{e}^{-4}\approx0{,}018315. Multiplicando por 5:
5\mathrm{e}^{-4}\approx5\times0{,}018315\approx0{,}091575.
Logo
P(N\ge 2)\approx1-0{,}091575\approx0{,}908425\approx0{,}9084.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: a probabilidade de ocorrerem pelo menos duas chamadas em meia hora é bem alta, cerca de 90{,}8\%. Isso faz sentido porque a média em 30 minutos é 4 chamadas — logo é muito provável ter pelo menos duas. Você está indo bem — reescreva esses passos em folha para fixar e pratique com outros intervalos (por exemplo 15 ou 45 minutos) trocando \lambda.

Resposta

1-5\mathrm{e}^{-4}
\approx0{,}9084

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