Um departamento recebe oito chamadas por hora. Qual a probabilidade de que:
em 30 minutos ocorram pelo menos duas chamadas?
em 30 minutos ocorram pelo menos duas chamadas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: o departamento recebe
chamadas por hora. - Informação: o intervalo de interesse é de
minutos. - Pergunta: qual a probabilidade de que, nesse intervalo de
minutos, ocorram pelo menos duas chamadas?
Passo 2
Por que modelar o número de chamadas com uma distribuição específica?
Quando temos contagem de eventos (chamadas) que ocorrem de forma independente ao longo do tempo, com uma taxa média constante por unidade de tempo, o modelo mais adequado e simples é o processo de Poisson. Aqui as chamadas são contagens em um intervalo de tempo fixo e o enunciado nos dá uma taxa média ( por hora), então é natural usar a distribuição de Poisson. Vou explicar a fórmula e como aplicá-la passo a passo.
Quando temos contagem de eventos (chamadas) que ocorrem de forma independente ao longo do tempo, com uma taxa média constante por unidade de tempo, o modelo mais adequado e simples é o processo de Poisson. Aqui as chamadas são contagens em um intervalo de tempo fixo e o enunciado nos dá uma taxa média (
Passo 3
A fórmula da distribuição de Poisson para o número de ocorrências
em um intervalo é
onde:
-
é o número de ocorrências (um inteiro ); -
é o valor esperado (média) do número de ocorrências no intervalo considerado; -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ).
Aqui precisamos calcularpara o intervalo de minutos. A taxa é chamadas por hora, logo para hora:
Passo 4
A probabilidade pedida é “pelo menos duas chamadas”, isto é
. É mais fácil usar o complemento:
Vou calcular
e
usando a fórmula da Poisson com
.
Passo 5
Calcular
:
Calcular
:
Somando:
Portanto
Passo 6
Vamos dar uma aproximação numérica para facilitar a interpretação. Primeiro,
. Multiplicando por
:
Logo
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: a probabilidade de ocorrerem pelo menos duas chamadas em meia hora é bem alta, cerca de
. Isso faz sentido porque a média em 30 minutos é
chamadas — logo é muito provável ter pelo menos duas. Você está indo bem — reescreva esses passos em folha para fixar e pratique com outros intervalos (por exemplo 15 ou 45 minutos) trocando
.