Suponha que 2 / 5 da população tenham sangue tipo \mathrm{O}^{+}. Escolhidas aleatoriamente oito pessoas, qual a probabilidade de que:
quatro delas tenham sangue \mathrm{O}^{+}?

Passo 1

O enunciado dá a informação e pede uma probabilidade. Vou listar claramente:
  • Informação: a fração da população com sangue \mathrm{O}^+ é \dfrac{2}{5}.
  • Escolhemos aleatoriamente 8 pessoas (amostra de tamanho n=8).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente 4 dessas 8 pessoas tenham sangue \mathrm{O}^+?

Passo 2

Modelagem do problema (por que usamos o modelo binomial).
  • Cada pessoa escolhida é um ensaio onde há dois resultados possíveis: "tem \mathrm{O}^+" (sucesso) ou "não tem \mathrm{O}^+" (fracasso).
  • A probabilidade de sucesso em cada ensaio é p=\dfrac{2}{5}. A probabilidade de fracasso é 1-p=\dfrac{3}{5}.
  • Assumimos que as escolhas são independentes (cada pessoa escolhida não altera a probabilidade nas outras) — isso é razoável quando a amostra é pequena em relação à população.
  • Portanto o número de pessoas com \mathrm{O}^+ em 8 escolhas segue uma distribuição binomial X\sim\mathrm{Bin}(n=8,p=\tfrac{2}{5}).
  • A probabilidade pedida é P(X=4).

Passo 3

Fórmula da distribuição binomial e explicação das partes.
  • A fórmula geral para P(X=k) quando X\sim\mathrm{Bin}(n,p) é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta o número de maneiras de escolher quais k ensaios (pessoas) foram sucessos entre n (isso aparece porque a ordem não importa);
  • p^{k} é a probabilidade de ocorrerem os k sucessos em uma sequência específica;
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade dos n-k fracassos restantes.
  • No nosso caso n=8, k=4, p=\dfrac{2}{5}. Substituindo:
P(X=4)=\binom{8}{4}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{4}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{4}.

Passo 4

Calcular o coeficiente binomial \binom{8}{4} passo a passo.
  • Definição: \displaystyle \binom{8}{4}=\dfrac{8!}{4!\,4!}.
  • Para calcular sem fatias grandes: \displaystyle \binom{8}{4}=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
  • Calcule o numerador: 8\cdot7\cdot6\cdot5 = 1680.
  • Calcule o denominador: 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.
  • Dividindo: \displaystyle \binom{8}{4}=\dfrac{1680}{24}=70.

Passo 5

Calcular as potências e multiplicar fatores racionais.
  • Calcule as potências separadas:
    • \displaystyle \left(\dfrac{2}{5}\right)^{4}=\dfrac{2^{4}}{5^{4}}=\dfrac{16}{625}.
    • \displaystyle \left(\dfrac{3}{5}\right)^{4}=\dfrac{3^{4}}{5^{4}}=\dfrac{81}{625}.
  • Multiplicando estas duas frações:
\left(\dfrac{2}{5}\right)^{4}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{4}=\dfrac{16\cdot81}{625\cdot625}=\dfrac{1296}{390625},
pois 625\cdot625=5^{4}\cdot5^{4}=5^{8}=390625 e 16\cdot81=1296.

Passo 6

Multiplicar pelo coeficiente binomial e simplificar a fração.
  • Multiplicando por \binom{8}{4}=70:
P(X=4)=70\cdot\dfrac{1296}{390625}=\dfrac{90720}{390625}.
  • Simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 5 (pois o denominador é potência de 5 e o numerador termina em zero):
\dfrac{90720}{390625}=\dfrac{90720\div5}{390625\div5}=\dfrac{18144}{78125}.
  • Agora o denominador 78125 é 5^{7} e o numerador 18144 não é divisível por 5, então a fração está na forma mais simples com respeito a potências de 5.

Passo 7

Obter uma aproximação decimal (útil para interpretar o valor).
  • Uma forma rápida de aproximar: note que 390625\cdot0{,}232=90625. A diferença até o numerador 90720 é 95, então
\frac{90720}{390625}=0{,}232+\frac{95}{390625}.
  • Calcule \dfrac{95}{390625}=0{,}0002432 (pode-se obter fazendo a divisão ou reconhecendo proporção).
  • Somando: 0{,}232+0{,}0002432=0{,}2322432.
  • Portanto a probabilidade aproximada é 0{,}2322432, ou cerca de 23{,}224\%.

Resposta

\dfrac{18144}{78125}\approx0{,}2322432

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