Suponha que
da população tenham sangue tipo
. Escolhidas aleatoriamente oito pessoas, qual a probabilidade de que:
quatro delas tenham sangue
?
quatro delas tenham sangue
Passo 1
O enunciado dá a informação e pede uma probabilidade. Vou listar claramente:
- Informação: a fração da população com sangue
é . - Escolhemos aleatoriamente
pessoas (amostra de tamanho ). - Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente
dessas pessoas tenham sangue ?
Passo 2
Modelagem do problema (por que usamos o modelo binomial).
- Cada pessoa escolhida é um ensaio onde há dois resultados possíveis: "tem
" (sucesso) ou "não tem " (fracasso). - A probabilidade de sucesso em cada ensaio é
. A probabilidade de fracasso é . - Assumimos que as escolhas são independentes (cada pessoa escolhida não altera a probabilidade nas outras) — isso é razoável quando a amostra é pequena em relação à população.
- Portanto o número de pessoas com
em escolhas segue uma distribuição binomial . - A probabilidade pedida é
.
Passo 3
Fórmula da distribuição binomial e explicação das partes.
- A fórmula geral para
quando é
onde:
-
é o coeficiente binomial, que conta o número de maneiras de escolher quais ensaios (pessoas) foram sucessos entre (isso aparece porque a ordem não importa); -
é a probabilidade de ocorrerem os sucessos em uma sequência específica; -
é a probabilidade dos fracassos restantes. - No nosso caso
, , . Substituindo:
Passo 4
Calcular o coeficiente binomial
passo a passo.
- Definição:
. - Para calcular sem fatias grandes:
. - Calcule o numerador:
. - Calcule o denominador:
. - Dividindo:
Passo 5
Calcular as potências e multiplicar fatores racionais.
- Calcule as potências separadas:
-
- Multiplicando estas duas frações:
pois
e
.
Passo 6
Multiplicar pelo coeficiente binomial e simplificar a fração.
- Multiplicando por
:
- Simplificar a fração dividindo numerador e denominador por
(pois o denominador é potência de e o numerador termina em zero):
- Agora o denominador
é e o numerador não é divisível por , então a fração está na forma mais simples com respeito a potências de .
Passo 7
Obter uma aproximação decimal (útil para interpretar o valor).
- Uma forma rápida de aproximar: note que
. A diferença até o numerador é , então
- Calcule
(pode-se obter fazendo a divisão ou reconhecendo proporção). - Somando:
. - Portanto a probabilidade aproximada é
, ou cerca de .