Suponha que 2 / 5 da população tenham sangue tipo \mathrm{O}^{+}. Escolhidas aleatoriamente oito pessoas, qual a probabilidade de que:
nenhuma tenha sangue \mathrm{O}^{+}?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (já peguei esses dados do texto):
  • A proporção da população com sangue \mathrm{O}^{+} é \dfrac{2}{5}.
  • Foram escolhidas aleatoriamente 8 pessoas.
    A pergunta é: qual a probabilidade de que nenhuma das 8 pessoas tenha sangue \mathrm{O}^{+}?

Passo 2

Como cada pessoa tem, independentemente, probabilidade \dfrac{2}{5} de ser \mathrm{O}^{+}, a probabilidade de uma pessoa NÃO ser \mathrm{O}^{+} é
1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}.
Para calcular a probabilidade de que todas as 8 pessoas NÃO sejam \mathrm{O}^{+} precisamos multiplicar essa probabilidade individual 8 vezes (assumindo independência das escolhas). Vou explicar por que isso faz sentido:
  • Se um evento A tem probabilidade p, a probabilidade de A NÃO ocorrer é 1-p.
  • Se temos dois eventos independentes, a probabilidade de ambos não ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.
  • Extende-se isso para n eventos independentes: a probabilidade de nenhum ocorrer é (1-p)^n.
Aqui, p=\dfrac{2}{5}, n=8. Logo a fórmula que vamos usar é
\text{Probabilidade}=(1-p)^n.

Passo 3

Substituindo p=\dfrac{2}{5} em (1-p)^n obtemos
\left(1-\frac{2}{5}\right)^8=\left(\frac{3}{5}\right)^8.
Explico cada símbolo:
  • 1-\dfrac{2}{5} é a probabilidade de uma pessoa NÃO ter \mathrm{O}^{+}.
  • O expoente 8 significa que queremos isso para as 8 pessoas ao mesmo tempo (produto de 8 fatores iguais).

Passo 4

Calculemos \left(\dfrac{3}{5}\right)^8 passo a passo:
3^2=9,\qquad 3^4=9^2=81,\qquad 3^8=81^2=6561,
5^2=25,\qquad 5^4=25^2=625,\qquad 5^8=625^2=390625.
Portanto
\left(\frac{3}{5}\right)^8=\frac{3^8}{5^8}=\frac{6561}{390625}.
Observação: 6561 e 390625 não têm fatores comuns (um é potência de 3, o outro de 5), então a fração já está irredutível.

Passo 5

Podemos também dar uma aproximação decimal para interpretar melhor:
\frac{6561}{390625}\approx 0,01679616,
ou seja, cerca de 1,679616\%. Em palavras: a probabilidade é baixa — aproximadamente 1,68\%.

Passo 6

Resumo curto e incentivo: a técnica principal aqui foi reconhecer que cada pessoa tem probabilidade fixa de ser \mathrm{O}^{+} e as escolhas são independentes, então usamos (1-p)^n. Isso é um raciocínio que cai muito em provas — lembra de verificar sempre a independência e o p antes de aplicar o produto!

Resposta

\left(\dfrac{3}{5}\right)^8 = \dfrac{6561}{390625} \approx 0,01679616 \approx 1,679616\%

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