O departamento de saúde de uma grande cidade desenvolveu um índice para a poluição do ar, que mede o nível de vários poluentes do ar que causam disfunções respiratórias nos seres humanos. A tabela a seguir fornece o índice de poluição do ar (em uma escala de 1 a 10, com 10 significando o nível mais elevado de poluentes) correspondente a 7 dias de verão, selecionados aleatoriamente, bem como o número de pacientes com problemas respiratórios agudos, que deram entrada nas salas de emergência dos hospitais da cidade.
Índice de
poluição do ar
Número de
atendimentos
na sala de
emergência
4,5 53
6,7 82
8,2 102
5,0 60
4,6 39
6,1 42
3,0 27
a. Qual seria a escolha apropriada para a variável independente e para a variável dependente? Considerando o índice de poluição do ar como uma variável independente e o número de atendimentos na sala de emergência como uma variável dependente, você espera que B venha a ser positivo, ou negativo, no modelo de regressão y=A+B x+\varepsilon ? E, caso o índice de poluição do ar fosse considerado como uma variável dependente?
b. Calcule \mathrm{SQ}_{\mathrm{xx}}, \mathrm{SQ}_{\mathrm{yy}} e \mathrm{SQ}_{\mathrm{xy}}.
c. Encontre a linha da regressão dos mínimos quadrados, escolhendo a variável dependente e a variável independente apropriadas com base em sua resposta para o item a.
d. Interprete o significado dos valores de a e b, calculados no item anterior.
e. Desenhe o diagrama de dispersão e a linha de regressão.
f. Calcule re r { }^{2} e explique o que eles significam neste problema.
Poderíamos fazer a seguinte pergunta: Quão bom é o modelo de regressão?
Em outras palavras: No modelo de regressão, com que precisão a variável independente explica a variável dependente?
O coeficiente de determinação é um conceito que responde a essa pergunta. O coeficiente de determinação pode ser definido como uma medida que fornece a proporção (ou percentagem) da variação total em uma variável dependente, que é explicada por determinada variável independente.
O coeficiente de determinação fornece a proporção da soma total dos quadrados, representa o mesmo que S Q_{y y}, que é explicada por meio da utilização do modelo de regressão. A soma total dos quadrados é a soma das diferenças elevadas ao quadrado entre os valores verdadeiros de y e \bar{y}.
O valor correspondente ao coeficiente de determinação sempre se posiciona no intervalo entre zero e um. E é, tanto o coeficiente de correlação elevado ao quadrado quanto pode ser calculado pela fórmula: r^{2}=\frac{b \cdot S Q_{x y}}{S Q_{y y}}.
De modo geral, quanto mais alto for o valor para \mathrm{r}^{2}, melhor será o modelo de regressão. Isso ocorre dessa maneira porque, caso \mathrm{r}^{2} seja maior, uma maior parcela do total dos erros será explicada pela variável independente incluída, e uma menor parcela dos erros será atribuída a outras variáveis e à aleatoriedade.
g. Elabore a previsão correspondente para uma estimativa quanto ao número de pacientes que dariam entrada em salas de emergência dos hospitais desta cidade, caso o índice de poluição do ar atingisse um valor igual 9,2.
h. Calcule o desvio-padrão dos erros.
A distância relativa a cada um dos pontos em relação à linha da regressão fornece o valor do erro correspondente. O desvio-padrão \sigma_{\varepsilon} mede a dispersão desses erros em torno da linha de regressão da população. O desvio-padrão dos erros nos informa o quão difusamente os erros e, consequentemente, os valores de y, estão dispersos em relação a determinado valor de x. Entretanto, geralmente \sigma_{\varepsilon} é desconhecido. Em tais casos, ele é estimado por s_{e}, que representa o desvio-padrão dos erros para os dados da amostra.
A seguir, é apresentada a fórmula básica para calcular s_{e} :
s_{e}=\sqrt{\frac{S Q_{y y}-b \cdot S Q_{x y}}{n-2}} \text {, em que } S Q_{y y}=\sum y^{2}-\frac{\left(\sum y\right)^{2}}{n}
Nessa fórmula, n-2 representa os graus de liberdade para o modelo de regressão. A razão pela qual g l=n-2 é que perdemos um grau de liberdade para calcular \bar{x} e um grau de liberdade para calcular s_{e}.
Graus de liberdade, em estatística, referem-se ao número de valores independentes em um conjunto de dados que são livres para variar, ou seja, que podem assumir qualquer valor. Eles indicam a quantidade de informação disponível em seus dados para estimar parâmetros populacionais desconhecidos e calcular a variabilidade dessas estimativas.

Passo 1

O enunciado nos dá sete pares (x_{i},y_{i}), em que x é o índice de poluição do ar e y é o número de atendimentos na sala de emergência. Queremos ajustar um modelo de regressão linear simples
y = A + Bx + \varepsilon
e responder itens de (a) a (h).

Passo 2

(a) A escolha natural é tratar o índice de poluição como variável independente x e o número de atendimentos como variável dependente y, pois esperamos que um aumento da poluição leve a mais atendimentos. Nesse caso, espera-se B>0. Se inverte-mos — poluição como dependente e atendimentos como independente — ainda teremos B>0, já que a associação é positiva em qualquer direção de regressão.

Passo 3

(b) Vamos calcular
\sum x_i,\;\sum y_i,\;\sum x_i^2,\;\sum y_i^2,\;\sum x_i y_i
e daí
\mathrm{SQ}_{xx}=\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n},\quad \mathrm{SQ}_{yy}=\sum y_i^2-\frac{(\sum y_i)^2}{n},\quad \mathrm{SQ}_{xy}=\sum x_i y_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}.
Com os dados:
\sum x_i=38{,}1, \sum y_i=405, \sum x_i^2=224{,}75, \sum y_i^2=27551, \sum x_i y_i=2440{,}9, n=7. Logo
\mathrm{SQ}_{xx}=224{,}75-\frac{38{,}1^2}{7}\approx17{,}377,
\mathrm{SQ}_{yy}=27551-\frac{405^2}{7}\approx4118{,}857,
\mathrm{SQ}_{xy}=2440{,}9-\frac{38{,}1\cdot405}{7}\approx236{,}543.

Passo 4

(c) Os coeficientes dos mínimos quadrados são
b=\frac{\mathrm{SQ}_{xy}}{\mathrm{SQ}_{xx}}\approx\frac{236{,}543}{17{,}377}\approx13{,}61,
a=\bar y - b\,\bar x,
em que \bar x=38{,}1/7\approx5{,}443 e \bar y=405/7\approx57{,}857. Assim
a\approx57{,}857 -13{,}61\times5{,}443\approx-16{,}24.
Então a reta de regressão é
\hat y=-16{,}24+13{,}61\,x.

Passo 5

(d) Interpretação:
a=-16{,}24 é o valor de \hat y quando x=0 (por extrapolação; aqui não tem sentido físico).
b=13{,}61 significa que, para cada acréscimo de uma unidade no índice de poluição, espera-se em média um aumento de 13{,}61 atendimentos.

Passo 6

(e) O diagrama de dispersão mostra pontos subindo da esquerda para a direita e a reta \hat y=-16{,}24+13{,}61\,x atravessa esses pontos de forma a minimizar os quadrados dos resíduos.

Passo 7

(f) O coeficiente de determinação é
r^2=\frac{b\,\mathrm{SQ}_{xy}}{\mathrm{SQ}_{yy}} \approx\frac{13{,}61\times236{,}543}{4118{,}857}\approx0{,}783.
Isso significa que cerca de 78{,}3\% da variação no número de atendimentos é explicada pela variação no índice de poluição.

Passo 8

(g) Para x=9{,}2, a previsão é
\hat y=-16{,}24+13{,}61\times9{,}2\approx-16{,}24+125{,}21\approx108{,}97.
Ou seja, cerca de 109 atendimentos.

Passo 9

(h) O desvio-padrão dos erros estimado é
s_e =\sqrt{\frac{\mathrm{SQ}_{yy}-b\,\mathrm{SQ}_{xy}}{n-2}} =\sqrt{\frac{4118{,}857-13{,}61\times236{,}543}{7-2}} \approx13{,}41.
Isso mede quão dispersos ficam os pontos em torno da reta ajustada.

Resposta

(a) x =índice de poluição (independente), y =atendimentos (dependente), B>0. Se invertida a escolha, ainda B>0.
(b) \mathrm{SQ}_{xx}\approx17{,}377, \mathrm{SQ}_{yy}\approx4118{,}857, \mathrm{SQ}_{xy}\approx236{,}543.
(c) \hat y=-16{,}24+13{,}61\,x.
(d) a=-16{,}24 (intercepto), b=13{,}61 (atendimentos por cada ponto de poluição).
(e) Dispersão com correlação positiva e reta conforme (c).
(f) r^2\approx0{,}783, isto é, 78{,}3\% da variação explicada.
(g) Para x=9{,}2, \hat y\approx108{,}97.
(h) s_e\approx13{,}41.

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