O Departamento de Trânsito do Estado de São Paulo pretende estimar a proporção p de veículos fabricados nos últimos dez anos e cadastrados no estado que estejam emitindo monóxido de carbono acima dos níveis permitidos. Responda as seguintes questões:
(a) Quantos veículos devem ser vistoriados de modo que a proporção p seja estimada com um erro de 0,01 e probabilidade de 0,98 ?
(b) Se informações obtidas de vistorias anteriores indicam que a proporção p não é superior a 30 \%, você conseguiria diminuir o tamanho amostral calculado em (a) com esta informação? Em caso afirmativo, de quanto?

Passo 1

O enunciado pede estimar a proporção p com erro máximo de E=0,01 e probabilidade (nível de confiança) de 0,98. Isso é um problema de tamanho de amostra para intervalo de confiança de proporção. Vamos usar a aproximação normal, em que
E = z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},
de onde isolamos n. Aqui \alpha = 1 - 0,98 = 0,02.

Passo 2

O valor crítico é
z_{1-\frac{\alpha}{2}} = z_{1-0,01} = z_{0,99} \approx 2,3263.
A fórmula do tamanho de amostra é
n \;=\;\frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.

Passo 3

(a) Sem informação prévia sobre p, usamos o caso mais conservador p=0,5, pois maximiza p(1-p)=0,25. Assim
n = \frac{(2,3263)^{2}\cdot 0,5\,(1-0,5)}{(0,01)^{2}} = \frac{5,4119\cdot 0,25}{0,0001} = \frac{1,35298}{0,0001} \approx 13529,8.
Arredondando para cima, precisamos de
n = 13\,530.

Passo 4

(b) Se soubermos que p\le 0,3, então o pior caso para p(1-p) é 0,3\cdot0,7=0,21. Repetindo o cálculo:
n' = \frac{(2,3263)^{2}\cdot 0,3\,(1-0,3)}{(0,01)^{2}} = \frac{5,4119\cdot 0,21}{0,0001} = \frac{1,13650}{0,0001} \approx 11\,365.
A redução no tamanho da amostra é
13\,530 - 11\,365 = 2\,165.

Resposta

(a) n = 13\,530.
(b) Sim. Com p\le0,3 leva a n'=11\,365, reduzindo em 2\,165 observações.

Exercícios relacionados