Seja X a Quantidade de um certo produto (em milhares de unidades) e Y o respectivo custo total de produção, avaliados para uma amostra de 10 observações:
X
(1000 unidades)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y
((\mathrm{R}
) 1.000,00)$
7 11 15 14 18 21 23 30 32 34
Obtenha os valores dos estimadores de mínimos quadrados para o custo fixo e para o custo marginal. (A justado o modelo \hat{y}_{t}=\hat{\alpha}+\hat{\beta} x_{t}, \hat{\alpha} é o estimador do custo fixo e \hat{\beta} o estimador do custo marginal).

Passo 1

Estamos diante de um ajuste de regressão linear simples, com X (em milhares de unidades) como variável explicativa e Y (em R$  1000,00) como variável resposta. Queremos estimar
\hat{y}_t = \hat{\alpha} + \hat{\beta} x_t
onde \hat{\alpha} representa o custo fixo e \hat{\beta} o custo marginal. Para isso, vamos usar as fórmulas
\hat{\beta} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \quad \hat{\alpha} = \bar y - \hat{\beta}\,\bar x,
com
S_{xx} = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2, \quad S_{xy} = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)(y_i - \bar y).

Passo 2

Calcular as somas e as médias amostrais:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 1+2+\cdots+10 = 55, \quad \sum_{i=1}^{10} y_i = 7+11+15+14+18+21+23+30+32+34 = 205.
Logo
\bar x = \frac{55}{10} = 5.5, \quad \bar y = \frac{205}{10} = 20.5.

Passo 3

Calcular S_{xx} e S_{xy}:
\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 1^2+2^2+\cdots+10^2 = 385 \;\Longrightarrow\; S_{xx} = 385 - 10\,(5.5)^2 = 385 - 302.5 = 82.5.
\sum_{i=1}^{10} x_i\,y_i = 1375 \;\Longrightarrow\; S_{xy} = 1375 - 10\,(5.5)(20.5) = 1375 - 1127.5 = 247.5.

Passo 4

Aplicar as fórmulas dos estimadores:
\hat{\beta} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{247.5}{82.5} = 3, \quad \hat{\alpha} = \bar y - \hat{\beta}\,\bar x = 20.5 - 3 \times 5.5 = 4.

Resposta

\hat{\alpha} = 4 (custo fixo, em R$ 1000) \hat{\beta} = 3 (custo marginal, em R$  1000 por mil unidades)

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