No modelo y_{t}=\alpha+\beta x_{t}^{2}+\varepsilon_{\mathrm{t}}, com base numa amostra de n pares de observações \left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right),\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right) \ldots\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right), determine os estimadores de mínimos quadrados de \alpha \mathrm{e} \beta.

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo
y_{t} = \alpha + \beta x_{t}^{2} + \varepsilon_{t},
em que temos uma amostra de n observações \bigl(x_{t},y_{t}\bigr), para t=1,\dots,n.
O conteúdo aqui é regressão linear por mínimos quadrados ordinários (OLS), reconhecendo que x_{t}^{2} é o regressor.

Passo 2

Para obter os estimadores OLS, consideramos a soma dos quadrados dos resíduos:
S(\alpha,\beta) = \sum_{t=1}^{n}\bigl(y_{t}-\alpha-\beta x_{t}^{2}\bigr)^{2}.
Vamos minimizar S(\alpha,\beta) em relação a \alpha e \beta.

Passo 3

A condição de primeira ordem para \alpha é
\frac{\partial S}{\partial \alpha} = -2\sum_{t=1}^{n}\bigl(y_{t}-\alpha-\beta x_{t}^{2}\bigr) =0 \;\Longrightarrow\; \sum_{t=1}^{n}y_{t} = n\,\alpha + \beta\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2}.

Passo 4

A condição de primeira ordem para \beta é
\frac{\partial S}{\partial \beta} = -2\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2}\bigl(y_{t}-\alpha-\beta x_{t}^{2}\bigr) =0 \;\Longrightarrow\; \sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2}y_{t} = \alpha\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2} + \beta\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{4}.

Passo 5

Das duas equações normais, isolamos \alpha na primeira:
\alpha = \frac{\sum_{t=1}^{n}y_{t} \;-\;\beta\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2}}{n}.
Substituindo em \sum x_{t}^{2}y_{t} = \alpha\sum x_{t}^{2} + \beta\sum x_{t}^{4} e reorganizando, obtemos
\hat\beta = \frac{n\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2}y_{t} -\bigl(\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2}\bigr)\bigl(\sum_{t=1}^{n}y_{t}\bigr)} {n\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{4} -\bigl(\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2}\bigr)^{2}}.

Passo 6

Finalmente, voltamos à expressão de \alpha usando \hat\beta. Chamando \sum y_{t}/n = \bar y e \sum x_{t}^{2}/n = \overline{x^{2}}, temos
\hat\alpha = \bar y - \hat\beta\,\overline{x^{2}}.

Resposta

\boxed{ \hat\beta = \frac{n\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2}y_{t} -\bigl(\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2}\bigr)\bigl(\sum_{t=1}^{n}y_{t}\bigr)} {n\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{4} -\bigl(\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2}\bigr)^{2}} , \quad \hat\alpha = \frac{\sum_{t=1}^{n}y_{t}}{n} - \hat\beta \frac{\sum_{t=1}^{n}x_{t}^{2}}{n} }.

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