DEPENDÊNCIA LINEAR: Verifique se cada conjunto abaixo é L.I ou L.D.:
.
Passo 1
Primeiro, resumindo o enunciado: temos o conjunto
A = {A₁, A₂, A₃} com
A = {A₁, A₂, A₃} com
e queremos saber se ele é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.) no espaço das matrizes 2×2.
Passo 2
Para testar independência linear, montamos a combinação
onde 0₍₂×₂₎ é a matriz nula, e igualamos entrada por entrada para obter um sistema de equações.
Passo 3
Igualando cada posição (i,j) a zero, extraímos o sistema:
Passo 4
Agora, da segunda equação temos x = y, e da quarta obtemos x = 2z. Substituindo essas relações na primeira equação:
o que implica x = y = 0. A terceira equação (y + 3z = 0) também é satisfeita por x = y = z = 0.
Passo 5
Como a única solução é a trivial (x = y = z = 0), concluímos que não há combinação não trivial que anule essas matrizes. Portanto elas são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto A é linearmente independente (L.I.).