DEPENDÊNCIA LINEAR: Verifique se cada conjunto abaixo é L.I ou L.D.:
D=(1,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,0,-1)

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se o conjunto de vetores em R^4
D = {(1,1,1,0), (0,1,1,1), (1,0,0,−1)} é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).
Conteúdo: dependência linear de vetores. Vamos usar definição de combinação linear nula e resolver um sistema homogêneo.

Passo 2

Lembrando que um conjunto v1,v2,v3 é L.I. se a única solução do sistema
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0
for c1=c2=c3=0. Caso exista solução não-trivial, ele é L.D.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear nula para nossos vetores:
c1(1,1,1,0) + c2(0,1,1,1) + c3(1,0,0,-1) = (0,0,0,0)
Isso gera o sistema homogêneo
c1 ; + c3 = 0 c1 + c2 = 0 c1 + c2 = 0 c2 - c3 = 0

Passo 4

Organizando em matriz aumentada dos coeficientes e aplicando eliminação de Gauss:
[ccc|c 1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 ]longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 & 0 ]
Em seguida subtraímos R2 de R3 e R4, gerando linhas nulas. Sobram dois pivôs para três incógnitas, ou seja, uma variável livre.

Passo 5

Como apareceu uma solução não-trivial (por exemplo, definindo c1 = 1 temos c2 = -c1 = -1 e c3 = c2 = -1), concluímos que existe combinação linear não-trivial que zera os vetores. Portanto, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto D é linearmente dependente.

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