SUBESPAÇOS: Mostre que cada conjunto a seguir é um subespaço vetorial do espaço dado. Depois, calcule uma base e a dimensão para cada subespaço.
U=(x, y, z) in R^3: x-2 y=0

Passo 1

Temos o subconjunto U = { (x,y,z) ∈ \mathbb{R}^3 : x - 2y = 0 }. O tópico aqui é subespaço vetorial em R^3, então vamos verificar as propriedades de subespaço e depois achar base e dimensão.

Passo 2

Primeiro mostramos que U é subespaço de R^3. Note que o vetor zero (0,0,0) satisfaz 0-2·0=0. Dados (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em U, temos xi-2yi=0. Então

Passo 3

(x1+x2)-2(y1+y2)= (x1-2y1)+(x2-2y2)=0+0=0

Passo 4

e para escalar c qualquer:

Passo 5

c x1 -2(c y1)=c(x1-2y1)=c·0=0

Passo 6

Como o zero está em U e U é fechado sob soma e multiplicação escalar, U é subespaço.

Passo 7

Para achar base e dimensão, resolvemos x-2y=0, ou seja x=2y. Assim um vetor genérico em U é

Passo 8

(x,y,z)=(2y,y,z)=y,(2,1,0)+z,(0,0,1)

Passo 9

Isso mostra que

Passo 10

U=\mathrm{span}{(2,1,0),(0,0,1)} e os vetores (2,1,0) e (0,0,1) são linearmente independentes, pois a única combinação que dá o vetor zero é trivial.

Resposta

Uma base de U é { (2,1,0), (0,0,1) } e dim(U)=2.

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