SUBESPAÇOS: Mostre que cada conjunto a seguir é um subespaço vetorial do espaço dado. Depois, calcule uma base e a dimensão para cada subespaço.
Passo 1
Temos o subconjunto U = { (x,y,z) ∈ \mathbb{R}^3 : x - 2y = 0 }. O tópico aqui é subespaço vetorial em
, então vamos verificar as propriedades de subespaço e depois achar base e dimensão.
Passo 2
Primeiro mostramos que U é subespaço de
. Note que o vetor zero
satisfaz
. Dados
e
em U, temos
. Então
Passo 3
Passo 4
e para escalar
qualquer:
Passo 5
Passo 6
Como o zero está em U e U é fechado sob soma e multiplicação escalar, U é subespaço.
Passo 7
Para achar base e dimensão, resolvemos
, ou seja
. Assim um vetor genérico em U é
Passo 8
Passo 9
Isso mostra que
Passo 10
U=\mathrm{span}{(2,1,0),(0,0,1)} e os vetores
e
são linearmente independentes, pois a única combinação que dá o vetor zero é trivial.
Resposta
Uma base de U é { (2,1,0), (0,0,1) } e dim(U)=2.