SUBESPAÇOS: Mostre que cada conjunto a seguir é um subespaço vetorial do espaço dado. Depois, calcule uma base e a dimensão para cada subespaço.
W=(x, y, z, w) in R^4: x-2 y+w=0 ; y-3 z-w=0

Passo 1

Nesse exercício temos o subespaço
W={(x,y,z,w)∈ℝ^4 : x−2y+w=0 ; y−3z−w=0}. O conteúdo é subespaços vetoriais em ℝ^n e precisamos mostrar que W satisfaz a definição de subespaço (fecho para soma e multiplicação escalar, presença do vetor zero) e depois parametrizar W para extrair uma base e calcular sua dimensão.

Passo 2

Para provar que W é um subespaço de ℝ^4 a gente lembra da definição: tem que conter o vetor zero, ser fechado para soma e para multiplicação por escalar.
  • O vetor zero pertence a W porque colocando x=y=z=w=0 a gente vê que 0−2·0+0=0 e 0−3·0−0=0.
  • Se u=(x₁,y₁,z₁,w₁) e v=(x₂,y₂,z₂,w₂) estão em W, elas satisfazem as duas equações. Ao somar u+v=(x₁+x₂, y₁+y₂, …), cada equação continua valendo por linearidade, então u+v∈W.
  • Para k∈ℝ, k·u satisfaz kx₁−2(ky₁)+kw₁=k(x₁−2y₁+w₁)=0 e similarmente na segunda equação. Portanto W é subespaço.

Passo 3

Agora vamos resolver o sistema para parametrizar W. Das equações
x−2y+w=0, y−3z−w=0
Da segunda tiramos y=3z+w. Substituindo na primeira temos x−2(3z+w)+w=0, ou seja x=6z+w. Logo quaisquer (x,y,z,w)∈W é da forma
(x,y,z,w)=(6z+w,;3z+w,;z,;w)
Aqui z e w são parâmetros livres.

Passo 4

A partir daí escrevemos o vetor geral como combinação linear:
(6z+w,3z+w,z,w)=z,(6,3,1,0)+w,(1,1,0,1)
Os vetores v₁=(6,3,1,0) e v₂=(1,1,0,1) são claramente independentes (não há λ tal que v₁=λv₂), então formam uma base de W. Como temos 2 vetores na base, a dimensão de W é 2.

Resposta

Uma base de W é (6,3,1,0),,(1,1,0,1) e dim(W)=2.

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