Um depósito cillindrico de 1 m de diâmetro e 4 m de altura está cheio de água a 20^circ C. Perpendicular ao fundo do depósito está conectado um tubo de aço comercial 1,5 in de diâmetro interno e 5 m de comprimento através do qual o tanque se esvazia. Calcule o tempo gasto para o nivel no tanque diminuir em 1 m.
Dados:
l rho=100 kg / m^3 mu=0,001 kg / m s
Resp: t=111 seg

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte:
– Tem um tanque cilíndrico de diâmetro 1 m e altura 4 m cheio de água a 20 °C.
– Ligado no fundo dele sai um tubo de aço (diâmetro interno 1,5 in ≃ 0,0381 m, comprimento 5 m).
Queremos calcular o tempo que leva pra baixar o nível do tanque em 1 m.
Conteúdo da matéria: escoamento em tubulações, equação de Bernoulli com perda de carga (Darcy–Weisbach) e esvaziamento de reservatório. Vamos precisar de: áreas, perda de carga linear e local, equação diferencial do esvaziamento e integração.

Passo 2

Calcular as áreas do tanque e do tubo:
At = pi D^24 = pi,(1,m)^24 approx 0,7854;m^2
Ap = pi d^24 = pi,(0,0381,m)^24 approx 0,00114;m^2
Razão de áreas:
AtApapprox0,78540,00114approx689

Passo 3

Modelo de perda de carga total na tubulação (linear + entrada):
hf = l(fLd + ker)v^22,g
v(z) = raiz2,g,zf,Ld + ke é o fator de atrito de Darcy–Weisbach (tubo comercial de aço, água a 20 °C): supomos .
é o coeficiente de perda na entrada do tubo: vale cerca de 0,5.
Assim, para uma determinada altura de água no tanque, a velocidade no tubo é

Passo 4

Escrevendo o balanço de volume no tanque:
At,dzdt = -Q = -Ap,v(z)
Logo
dzdt = -ApAt,v(z) Longrightarrow dt = -AtAp,dzv(z)

Passo 5

Substituindo dt = -AtAp, raizf,Ld+ke2,g, dzraizz e separando variáveis:
t = AtAp, raizf,Ld+ke2,g integral4^3-dzraizz = 2,AtAp, raizf,Ld+ke2,g; l(raizzi-raizzfr)
Integramos do nível inicial até :

Passo 6

Agora é só botar os números:
raiz1,81219,62approx0,304, 2,AtApapprox2times689=1378
t approx 1378times0,304times(,2-raiz3,) approx 1378times0,304times0,268 approx 112;s

Resposta

t approx 111;s

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