Diferenciabilidade e Planos Tangentes
Calcule a eq. do planotangente à funcao f(x, y)=x^2+3 y^2, no ponto (1,1,4).

Passo 1

A função dada é f(x,y)=x^2+3y^2 e queremos o plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (1,1,f(1,1))=(1,1,4). Para isso, vamos usar a fórmula do plano tangente: z = f(a,b) + fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f: fx(x,y)=2x e fy(x,y)=6y.

Passo 3

Avaliamos essas derivadas no ponto (1,1): fx(1,1)=2 e fy(1,1)=6.

Passo 4

Substituímos na fórmula do plano tangente: z = 4 + 2(x-1) + 6(y-1). Simplificando, obtemos z = 2x + 6y - 4.

Resposta

z = 2x + 6y - 4

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