Derivação implícita. Calcular d yd x se:
ln y+xy=k

Passo 1

O enunciado pede para calcular dydx quando
ln y + xy = k,
sendo k uma constante. O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y é função de x.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
ddxl(ln yr) ;+;ddx!l(xyr);=;ddx(k)
Como k é constante, ddx(k)=0.

Passo 3

Agora calculamos cada derivada:
  1. ddx(ln y)=1y,dydx
  2. Para ddxl(tfracxyr) podemos usar produto xcdot y^-1:
ddx(xcdot y^-1) =1cdot y^-1 + xcdot(-1),y^-2,dydx =1y-xy^2,dydx

Passo 4

Substituindo na equação de passo 2 temos
1y,dydx ;+;l(1y-xy^2,dydxr) =0
Agrupando os termos que envolvem dydx:
dydxl(1y-xy^2r) +1y =0 Longrightarrow dydx,y-xy^2 =-1y
Logo, isolando dydx:
dydx =-1y;cdot;y^2,y-x, =-y,y-x,

Resposta

dydx=-y,y-x,

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