Derivação implícita. Calcular d yd x se:
x y=arctg xy

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita x,y = arctan!l(tfracxyr). O conteúdo envolvido é derivação implícita, usando regra do produto e regra da cadeia para arctan(u). Vamos precisar também da derivada de x/y.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, do lado esquerdo aplicamos a regra do produto:
ddx(x,y) = x,dydx + y,ddx(x) = x,y' + y
Do lado direito, aplicamos a regra da cadeia em arctan(u), com u = x/y:
ddxl(arctan(u)r) = 11+u^2,dudx = 11+(x/y)^2,ddxl(xyr)

Passo 3

Agora calculamos ddx(x/y) usando regra do quociente:
ddxl(xyr) = ycdot 1 - xcdot y'y^2 = y - x,y'y^2

Passo 4

Substituindo na derivada do lado direito:
11+(x/y)^2cdot y - x,y'y^2
Mas 1+(x/y)^2 = y^2 + x^2y^2, logo
11+(x/y)^2 = y^2x^2+y^2
Portanto o lado direito vira
y^2x^2+y^2cdot y - x,y'y^2 = y - x,y'x^2+y^2

Passo 5

Igualando derivadas dos dois lados:
x,y' + y = y - x,y'x^2 + y^2

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por x^2+y^2 para eliminar o denominador:
(x,y' + y)(x^2+y^2) = y - x,y'

Passo 7

Expandindo e recolhendo os termos com y':
x,y'(x^2+y^2) + y(x^2+y^2) = y - x,y'
Passamos x,y' para o mesmo lado dos y' e os demais termos para o outro lado:
x,y'(x^2+y^2) + x,y' = y - y(x^2+y^2)

Passo 8

Fatorando y' do lado esquerdo e fatorando y do lado direito:
y'l[x(x^2+y^2)+xr] = yl[1 - (x^2+y^2)r]
Observe que x(x^2+y^2)+x = x(x^2+y^2+1).

Passo 9

Isolando y':
dydx = y' = yl[1 - (x^2+y^2)r]x(x^2+y^2+1)

Resposta

dydx = yl(1 - x^2 - y^2r)xl(x^2 + y^2 + 1r)

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