Derivação implícita. Calcular
se:
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
. O conteúdo envolvido é derivação implícita, usando regra do produto e regra da cadeia para
. Vamos precisar também da derivada de
.
Passo 2
Derivando ambos os lados em relação a
, do lado esquerdo aplicamos a regra do produto:
Do lado direito, aplicamos a regra da cadeia em
, com
:
Passo 3
Agora calculamos
usando regra do quociente:
Passo 4
Substituindo na derivada do lado direito:
Mas
, logo
Portanto o lado direito vira
Passo 5
Igualando derivadas dos dois lados:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 7
Expandindo e recolhendo os termos com
:
Passamos
para o mesmo lado dos
e os demais termos para o outro lado:
Passo 8
Fatorando
do lado esquerdo e fatorando
do lado direito:
Observe que
.
Passo 9
Isolando
: