Derivação implícita. Calcular d yd x se:
arctg yx=12 ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
arctan!gl(yxgr)=12lnl(x^2+y^2r)
e pede dydx. Para isso vamos usar derivação implícita, aplicando a regra da cadeia e as derivadas de arctan(u) e ln(v).

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo temos
ddxl[arctan!l(y/xr)r],
e do direito
ddxl[tfrac12lnl(x^2+y^2r)r]

Passo 3

Para o lado esquerdo, use regra da cadeia:
ddxl[arctan(u)r] =u'1+u^2,
com u=y/x. Então
u'=ddxl(y/xr) =x,dydx-yx^2
Logo
ddxl[arctan(y/x)r] =tfracx,y'-yx^21+(y/x)^2 =x,y'-yx^2l(1+y^2/x^2r) =x,y'-yx^2+y^2

Passo 4

Para o lado direito,
ddxl[tfrac12ln(x^2+y^2)r] =tfrac12cdot1x^2+y^2cdotddx(x^2+y^2) =12cdot2x+2y,y'x^2+y^2 =x+y,y'x^2+y^2

Passo 5

Igualando as duas derivadas (e cancelando o denominador comum x^2+y^2), obtemos
x,y'-y = x + y,y'
Reagrupando termos com y':
x,y' - y',y = x + y Longrightarrow y',(x - y) = x + y Longrightarrow y' = x + y,x - y,

Resposta

dydx = x + yx - y

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