Derivação implícita. Calcular d yd x se:
x sin y-cos y+cos 2 y=0

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
xsin y ;-;cos y;+;cos 2y ;=;0
e pede dydx. O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, usando regra do produto e cadeia.

Passo 2

Diferenciando cada termo em relação a x:
ddxl(xsin yr) +ddxl(-cos yr) +ddxl(cos 2yr) =0

Passo 3

Calculando termo a termo:
  1. ddx(xsin y) =underbrace1d(x)/dxcdotsin y + xcdotddx(sin y) = sin y + xcos y;dydx
  2. ddx(-cos y) = -l(-sin ycdotdydxr) = sin y;dydx
  3. ddx(cos 2y) = -sin(2y)cdotddx(2y) = -2sin(2y);dydx

Passo 4

Somando tudo e igualando a zero:
sin y + xcos y;dydx + sin y;dydx -2sin(2y);dydx =0
Agrupando os termos com dydx:
sin y + dydxl(xcos y + sin y - 2sin(2y)r) =0
Isolando dydx:
dydx = -,sin y,xcos y + sin y - 2sin(2y),

Resposta

dydx = -,sin y,xcos y + sin y - 2sin(2y),

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