Em quais pontos a curva
tem tangente horizontal? Em quais pontos ela tem tangente vertical?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais pontos a curva definida pela equação
tem tangentes horizontais e verticais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a derivada
nos dá a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto. Para achar essa derivada, precisamos diferenciar a equação da curva em relação a
, tratando
como uma função de
.
Vamos diferenciar cada termo da equação
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Fatorando
:
Isolando
:
Simplificando a fração:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde a tangente é horizontal e onde é vertical.
Tangente Horizontal:
Para ter uma tangente horizontal, a derivada
deve ser igual a zero.
Isso acontece quando o numerador é zero:
Agora, substituímos
na equação original para encontrar
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, as tangentes horizontais ocorrem nos pontos
e
.
Tangente Vertical:
Para ter uma tangente vertical, a derivada
é indefinida, o que acontece quando o denominador é zero.
Agora, substituímos
na equação original para encontrar
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, as tangentes verticais ocorrem nos pontos
e
.
Resposta
A curva tem tangentes horizontais nos pontos
e
, e tangentes verticais nos pontos
e
.