Em quais pontos a curva x^2+4 y^2-2 x+4 y-2=0 tem tangente horizontal? Em quais pontos ela tem tangente vertical?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais pontos a curva definida pela equação x^2 + 4y^2 - 2x + 4y - 2 = 0 tem tangentes horizontais e verticais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada dydx nos dá a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto. Para achar essa derivada, precisamos diferenciar a equação da curva em relação a x , tratando y como uma função de x .
Vamos diferenciar cada termo da equação x^2 + 4y^2 - 2x + 4y - 2 = 0 :
  • A derivada de x^2 é 2x .
  • A derivada de 4y^2 é 8y cdot dydx (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de -2x é -2 .
  • A derivada de 4y é 4 cdot dydx .
  • A derivada de -2 é 0 .
Então, temos:
2x + 8y cdot dydx - 2 + 4 cdot dydx = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para dydx :
8y cdot dydx + 4 cdot dydx = -2x + 2
Fatorando dydx :
dydx (8y + 4) = -2x + 2
Isolando dydx :
dydx = -2x + 28y + 4
Simplificando a fração:
dydx = -2(x - 1)4(2y + 1) = -(x - 1)2(2y + 1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde a tangente é horizontal e onde é vertical.
Tangente Horizontal:
Para ter uma tangente horizontal, a derivada dydx deve ser igual a zero.
-(x - 1)2(2y + 1) = 0
Isso acontece quando o numerador é zero:
-(x - 1) = 0 Rightarrow x = 1
Agora, substituímos x = 1 na equação original para encontrar y :
(1)^2 + 4y^2 - 2(1) + 4y - 2 = 0
1 + 4y^2 - 2 + 4y - 2 = 0
4y^2 + 4y - 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
y = -4 pm raiz(4)^2 - 4 cdot 4 cdot (-3)2 cdot 4
y = -4 pm raiz16 + 488
y = -4 pm raiz648
y = -4 pm 8 8
Então, temos duas soluções:
  1. y = 48 = 12
  2. y = -128 = -32
Portanto, as tangentes horizontais ocorrem nos pontos (1, 12) e (1, -32) .
Tangente Vertical:
Para ter uma tangente vertical, a derivada dydx é indefinida, o que acontece quando o denominador é zero.
2(2y + 1) = 0 Rightarrow 2y + 1 = 0 Rightarrow y = -12
Agora, substituímos y = -12 na equação original para encontrar x :
x^2 + 4(-12)^2 - 2x + 4(-12) - 2 = 0
x^2 + 4 cdot 14 - 2x - 2 - 2 = 0
x^2 + 1 - 2x - 4 = 0
x^2 - 2x - 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1
x = 2 pm raiz4 + 122
x = 2 pm raiz162
x = 2 pm 42
Então, temos duas soluções:
  1. x = 62 = 3
  2. x = -22 = -1
Portanto, as tangentes verticais ocorrem nos pontos (3, -12) e (-1, -12) .

Resposta

A curva tem tangentes horizontais nos pontos (1, 12) e (1, -32) , e tangentes verticais nos pontos (3, -12) e (-1, -12) .

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