Por derivação implícita determine d yd x :
sen(x+y)=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar dydx usando derivação implícita na equação sin(x + y) = x. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e como lidar com termos que envolvem tanto x quanto y.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação sin(x + y) = x em relação a x. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada parte da equação:
ddx [sin(x + y)] = ddx [x]

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado esquerdo. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de sin(u) em relação a u é cos(u), e então multiplicamos pela derivada de u em relação a x. Aqui, u = x + y:
ddx [sin(x + y)] = cos(x + y) cdot ddx(x + y)

Passo 4

Em seguida, derivamos x + y em relação a x. A derivada de x em relação a x é 1, e a derivada de y em relação a x é dydx:
ddx(x + y) = 1 + dydx

Passo 5

Substituindo de volta na equação da derivada do lado esquerdo:
cos(x + y) cdot (1 + dydx) = ddx [x] = 1

Passo 6

Agora, vamos isolar dydx. Primeiro, divida ambos os lados por cos(x + y):
1 + dydx = 1cos(x + y)

Passo 7

Finalmente, subtraia 1 de ambos os lados para resolver dydx:
dydx = 1cos(x + y) - 1

Resposta

Portanto, a derivada dydx é:
dydx = 1 - cos(x + y)cos(x + y)

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