Estima-se que a receita anual de um jornal obtida com os anúncios seja
R(x)=0,5 x^2+3 x+160 milhares de reais, quando a circulação é de x milhares de exemplares. A circulação atual do jornal é de 10.000 exemplares e está crescendo numa taxa de 2.000 por ano. Qual é a taxa de crescimento anual da receita obtida com os anúncios?

Passo 1

O enunciado fornece a receita anual R (em milhares de reais) em função da circulação x (em milhares de exemplares). Temos:
R(x) = 0,5x^2 + 3x + 160
A circulação atual é x = 10 e cresce a uma taxa dxdt = 2 (milhares de exemplares por ano). O objetivo é determinar dRdt, a taxa de crescimento da receita.

Passo 2

Para relacionar a variação de R com a de x, usamos a regra da cadeia:
dRdt = R'(x),dxdt

Passo 3

Diferenciando R(x), obtemos
R'(x) = ddxl(0,5x^2 + 3x + 160r) = x + 3

Passo 4

Em x = 10, temos
R'(10) = 10 + 3 = 13

Passo 5

Multiplicando por dxdt = 2, resulta
dRdt = 13 cdot 2 = 26

Resposta

A taxa de crescimento anual da receita é de 26 milhares de reais por ano.

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