Seja C uma curva no plano x y dada pela equação x^2+x y+y^2=27. Determine os pontos (a, b) in C onde a reta tangente à curva C é horizontal.

Passo 1

Então, a gente tem uma curva C no plano xy dada pela equação x^2 + x y + y^2 = 27 . A gente precisa encontrar os pontos (a, b) nessa curva onde a reta tangente é horizontal. O que isso significa? Bem, uma reta tangente horizontal tem uma inclinação de zero, ou seja, a derivada dydx nesse ponto é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente a derivada implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação da curva em relação a x usando a regra da derivada implícita. A função é x^2 + x y + y^2 = 27 .
Derivando cada termo:
  • A derivada de x^2 em relação a x é 2x .
  • A derivada de x y é y + x dydx (usando a regra do produto).
  • A derivada de y^2 é 2y dydx (usando a regra da cadeia).
Então, temos:
2x + y + x dydx + 2y dydx = 0

Passo 3

Agora, vamos isolar dydx na equação:
x dydx + 2y dydx = - (2x + y)
Fatorando dydx :
dydx (x + 2y) = - (2x + y)
Então, a derivada dydx é:
dydx = - 2x + yx + 2y

Passo 4

Para que a reta tangente seja horizontal, a derivada dydx precisa ser igual a zero:
- 2x + yx + 2y = 0
Isso só acontece quando o numerador é igual a zero:
2x + y = 0
y = -2x

Passo 5

Agora, vamos substituir y = -2x na equação original da curva para encontrar os valores de x :
x^2 + x(-2x) + (-2x)^2 = 27
x^2 - 2x^2 + 4x^2 = 27
3x^2 = 27
x^2 = 9
x = 3 ou x = -3

Passo 6

Com os valores de x , vamos encontrar y usando y = -2x :
  • Se x = 3 :
y = -2(3) = -6
Então, o ponto é (3, -6) .
  • Se x = -3 :
y = -2(-3) = 6
Então, o ponto é (-3, 6) .

Resposta

Os pontos na curva C onde a reta tangente é horizontal são (3, -6) e (-3, 6) .

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