Seja
uma curva no plano
dada pela equação
. Determine os pontos
onde a reta tangente à curva
é horizontal.
Passo 1
Então, a gente tem uma curva
no plano
dada pela equação
. A gente precisa encontrar os pontos
nessa curva onde a reta tangente é horizontal. O que isso significa? Bem, uma reta tangente horizontal tem uma inclinação de zero, ou seja, a derivada
nesse ponto é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente a derivada implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação da curva em relação a
usando a regra da derivada implícita. A função é
.
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é (usando a regra do produto). - A derivada de
é (usando a regra da cadeia).
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar
na equação:
Fatorando
:
Então, a derivada
é:
Passo 4
Para que a reta tangente seja horizontal, a derivada
precisa ser igual a zero:
Isso só acontece quando o numerador é igual a zero:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na equação original da curva para encontrar os valores de
:
Passo 6
Com os valores de
, vamos encontrar
usando
:
- Se
:
Então, o ponto é
.
- Se
:
Então, o ponto é
.
Resposta
Os pontos na curva
onde a reta tangente é horizontal são
e
.