Por derivação implicita determine frac{d y}{d x} :
\operatorname{sen}(x \div y)=x

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\sin\biggl(\frac{x}{y}\biggr)=x
e pede \displaystyle \frac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia na esquerda e a regra do quociente ao derivar \frac{x}{y}.

Passo 2

Defina
u = \frac{x}{y},
de modo que a equação fica \sin(u)=x. Diferenciando em relação a x usando a regra da cadeia, obtemos
\cos(u)\,\frac{du}{dx} = 1.

Passo 3

Agora precisamos de \frac{du}{dx} para u = x/y. Aplicando a regra do quociente:
\frac{du}{dx} = \frac{y\cdot\frac{d}{dx}(x) - x\cdot\frac{d}{dx}(y)}{y^2} = \frac{y - x\,\frac{dy}{dx}}{y^2}.

Passo 4

Substituindo \frac{du}{dx} na equação da derivada:
\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,\frac{y - x\,\frac{dy}{dx}}{y^2} = 1.
Multiplicando ambos os lados por y^2,
\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,\bigl(y - x\,\tfrac{dy}{dx}\bigr) = y^2.

Passo 5

Expanda e isole o termo com \frac{dy}{dx}:
y\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) - x\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,\frac{dy}{dx} = y^2 \quad\Longrightarrow\quad -\,x\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,\frac{dy}{dx} = y^2 - y\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr).

Passo 6

Finalmente, dividindo por -x\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) para obter \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{y\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) - y^2}{x\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)}.

Resposta

\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{y\,\cos\!\bigl(\frac{x}{y}\bigr) - y^2}{x\,\cos\!\bigl(\frac{x}{y}\bigr)}.}

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