Resolva os seguintes problemas
(d) Paradoxo de Zenon, Aquiles ( A ) e uma tartaruga ( T ) decidiram apostar uma corrida. T permite que A inicie 100 m a frente já que A corre a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e T corre a 0,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quando A alcança o ponto desde onde T partiu, T já se deslocou uma certa distância à frente. Quando A alcança esse outro ponto a frente, T se move uma outra distância. Como isso se repete indefinidamente, Zenon afirma que A nunca poderá alcançar a T. Mostre que essa afirmação está incorreta

Passo 1

O enunciado nos coloca no paradoxo clássico de Zenon: Achilles corre a 10\\ \mathrm{m/s} e a tartaruga a 0{,}1\\ \mathrm{m/s}. A tartaruga recebe uma vantagem de 100\\ \mathrm{m}, isto é, inicia em x=100\\ \mathrm{m} enquanto Achilles parte de x=0. Zenon argumenta que, sempre que Achilles alcança onde a tartaruga estava, ela já avançou um pouco mais, criando uma sequência infinita de “alcanços parciais” e, assim, nunca seria ultrapassada. Para mostrar que ele está errado, vamos computar o tempo total que Achilles leva para de fato alcançar a tartaruga, usando séries geométricas.

Passo 2

Quando Achilles chega ao ponto inicial da tartaruga ( x=100), o tempo gasto é
t_{0} = \frac{100}{10} = 10\\ \mathrm{s}.
Nesse intervalo, a tartaruga avançou
d_{1} = 0{,}1 \times t_{0} = 0{,}1 \times 10 = 1\\ \mathrm{m},
ficando em x=101\\ \mathrm{m}.
Em seguida Achilles percorre esses 1\\ \mathrm{m} em
t_{1} = \frac{1}{10} = 0{,}1\\ \mathrm{s},
e a tartaruga avança
d_{2} = 0{,}1 \times t_{1} = 0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01\\ \mathrm{m}.
Repetindo o raciocínio, os tempos formam a sequência
t_{0}=10,\quad t_{1}=0{,}1,\quad t_{2}=0{,}001,\quad\ldots
e cada termo satisfaz
t_{n+1} = 0{,}01\,t_{n}.
Portanto \{t_{n}\} é uma série geométrica de razão r=0{,}01.

Passo 3

A soma do tempo total até o momento em que Achilles alcança a tartaruga é
T = \sum_{n=0}^{\infty} t_{n} = t_{0}\,\frac{1}{1-r} = 10\;\frac{1}{1-0{,}01} = 10\;\frac{1}{0{,}99} \approx 10{,}101010\\ \mathrm{s}.
Como essa soma é finita, Achilles de fato alcança a tartaruga em tempo finito de aproximadamente 10{,}101\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Alternativamente, note que Achilles fecha a vantagem inicial de 100\\ \mathrm{m} sobre a tartaruga com velocidade relativa
v_{\rm rel} = 10 - 0{,}1 = 9{,}9\\ \mathrm{m/s}.
Assim o tempo de encontro é
T = \frac{100}{9{,}9} \approx 10{,}101010\\ \mathrm{s},
o mesmo valor obtido pela soma da série infinita.

Resposta

Achilles alcança e ultrapassa a tartaruga em tempo finito
T = \frac{100}{10 - 0{,}1} = \frac{100}{9{,}9} \approx 10{,}101010\\ \mathrm{s},
portanto a afirmação de Zenon está incorreta.

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