Por derivação implicita determine frac{d y}{d x} :
y \div \ln \left(x^{2}-y^{2}\right)=4

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\frac{y}{\ln\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)} = 4,
pede \dfrac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita, a regra da cadeia para \ln e coletar os termos em dy/dx.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por \ln\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) para facilitar:
y = 4\,\ln\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 3

Derivamos em relação a x. No lado esquerdo, \dfrac{d}{dx}[y]=dy/dx. No direito, usamos a cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[4\ln(u)\bigr] =4\cdot\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}, \quad u = x^{2}-y^{2}.
E
\frac{du}{dx} = 2x - 2y\frac{dy}{dx}.
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\frac{dy}{dx} =4\cdot\frac{1}{x^{2}-y^{2}}\bigl(2x - 2y\frac{dy}{dx}\bigr) =\frac{8x - 8y\,\frac{dy}{dx}}{x^{2}-y^{2}}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}-y^{2} e isolamos \dfrac{dy}{dx}:
(x^{2}-y^{2})\frac{dy}{dx} =8x - 8y\frac{dy}{dx},
(x^{2}-y^{2})\frac{dy}{dx} +8y\frac{dy}{dx} =8x,
\frac{dy}{dx}\bigl(x^{2}-y^{2}+8y\bigr) =8x.

Passo 5

Dividindo por \bigl(x^{2}-y^{2}+8y\bigr), obtemos a derivada buscada.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{8x}{\,x^{2}-y^{2}+8y\,}.

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