Exercício 6. Mostre que se
e
são dois campos vetoriais definidos em
e
duas funções escalares
de três variáveis, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para dois campos vetoriais
e
de classe
em
, vale a identidade
Para isso vamos usar as definições coordenada a coordenada, aproveitando o símbolo de Levi-Civita.
Passo 2
Lembrando as definições em coordenadas
:
e o produto vetorial
onde
é o símbolo de Levi-Civita.
Passo 3
Escrevemos a divergência do produto vetorial:
Passo 4
Como
é constante, tiramos para fora da derivada e usamos a regra do produto:
Passo 5
O primeiro somando é
pois
e renomeamos o índice
.
Passo 6
O segundo somando é
onde usamos a antissimetria
e renomeamos
.
Passo 7
Somando as duas partes obtemos exatamente
Resposta
A identidade foi demonstrada.