Exercício 6. Mostre que se vec{F} e vec{G} são dois campos vetoriais definidos em E \subset \mathbb{R}^{3} e f, g duas funções escalares C^{1} de três variáveis, então
\nabla \cdot(\vec{F} \times \vec{G})=\vec{G} \cdot \nabla \times \vec{F}-F \cdot \nabla \vec{G}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para dois campos vetoriais \vec F e \vec G de classe C^1 em E\subset\mathbb R^3, vale a identidade
\nabla\cdot(\vec F\times \vec G) =\vec G\cdot(\nabla\times\vec F) -\vec F\cdot(\nabla\times\vec G).
Para isso vamos usar as definições coordenada a coordenada, aproveitando o símbolo de Levi-Civita.

Passo 2

Lembrando as definições em coordenadas x_1,x_2,x_3:
(\nabla\cdot\vec H) =\frac{\partial H_i}{\partial x_i}, \quad (\nabla\times\vec H)_m =\varepsilon_{mij}\frac{\partial H_j}{\partial x_i},
e o produto vetorial
(\vec F\times\vec G)_i =\varepsilon_{ijk}\,F_j\,G_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita.

Passo 3

Escrevemos a divergência do produto vetorial:
\nabla\cdot(\vec F\times\vec G) =\frac{\partial}{\partial x_i} \bigl(\varepsilon_{ijk}\,F_j\,G_k\bigr).

Passo 4

Como \varepsilon_{ijk} é constante, tiramos para fora da derivada e usamos a regra do produto:
\nabla\cdot(\vec F\times\vec G) =\varepsilon_{ijk}\, \frac{\partial (F_j\,G_k)}{\partial x_i} =\varepsilon_{ijk}\bigl(G_k\,\partial_i F_j +F_j\,\partial_i G_k\bigr).

Passo 5

O primeiro somando é
\varepsilon_{ijk}\,G_k\,\partial_i F_j =G_k\bigl(\varepsilon_{kij}\,\partial_i F_j\bigr) =G_m(\nabla\times\vec F)_m =\vec G\cdot(\nabla\times\vec F),
pois \varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{kij} e renomeamos o índice k\to m.

Passo 6

O segundo somando é
\varepsilon_{ijk}\,F_j\,\partial_i G_k =-\varepsilon_{jik}\,F_j\,\partial_i G_k =-F_j\bigl(\varepsilon_{j i k}\,\partial_i G_k\bigr) =-F_m(\nabla\times\vec G)_m =-\vec F\cdot(\nabla\times\vec G),
onde usamos a antissimetria \varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik} e renomeamos j\to m.

Passo 7

Somando as duas partes obtemos exatamente
\nabla\cdot(\vec F\times\vec G) =\vec G\cdot(\nabla\times\vec F) \;-\;\vec F\cdot(\nabla\times\vec G).

Resposta

A identidade foi demonstrada.

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