(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
x y+2 x+3 y=1-\frac{y+2}{x+3}

Passo 1

O enunciado dá a equação que relaciona x e y:
x y + 2 x + 3 y = 1 - \frac{y+2}{x+3}.
O que se pede é a derivada \displaystyle f'(x)=\frac{dy}{dx}, isto é, encontrar \displaystyle \frac{dy}{dx} a partir dessa relação implícita entre x e y.

Passo 2

Primeiro passo prático: eliminar o denominador para evitar aplicar a regra do quociente mais adiante. Multiplico ambos os lados por (x+3) (assumindo x\neq -3):
(x+3)\bigl(x y + 2 x + 3 y\bigr) = (x+3)\cdot 1 - (y+2).

Passo 3

Agora faço a multiplicação e simplifico termo a termo. No lado esquerdo:
(x+3)(x y) = x^2 y + 3 x y,
(x+3)(2x) = 2x^2 + 6x,
(x+3)(3y) = 3 x y + 9 y.
Somando esses três resultados:
x^2 y + 3 x y + 2 x^2 + 6 x + 3 x y + 9 y = x^2 y + 6 x y + 2 x^2 + 6 x + 9 y.
No lado direito:
(x+3) - (y+2) = x +1 - y.
Portanto a equação transformada é
x^2 y + 6 x y + 2 x^2 + 6 x + 9 y = x + 1 - y.

Passo 4

Passo seguinte: trazer todos os termos para um lado para obter uma igualdade igual a zero, que facilita a diferenciação implícita:
x^2 y + 6 x y + 2 x^2 + 6 x + 9 y - x - 1 + y = 0.
Combino termos semelhantes ( 9y+y=10y, 6x-x=5x):
x^2 y + 6 x y + 2 x^2 + 5 x + 10 y - 1 = 0.

Passo 5

Agora diferencio ambos os lados em relação a x. Lembrete didático: quando diferencio termos que envolvem y, y é função de x (ou seja, y=y(x)), então uso a regra do produto quando aparece x multiplicando y e aplico a regra da cadeia ao derivar y (a derivada de y é y'=\dfrac{dy}{dx}). A regra do produto diz que, para u(x)v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u' v + u v'.
Aplicando termo a termo à expressão x^2 y + 6 x y + 2 x^2 + 5 x + 10 y -1 =0:
  • \dfrac{d}{dx}(x^2 y) = 2x\cdot y + x^2\cdot y' (produto: u=x^2, v=y).
  • \dfrac{d}{dx}(6 x y) = 6\bigl(1\cdot y + x\cdot y'\bigr)=6y+6x y'.
  • \dfrac{d}{dx}(2 x^2) = 4x.
  • \dfrac{d}{dx}(5 x) = 5.
  • \dfrac{d}{dx}(10 y) = 10 y'.
  • \dfrac{d}{dx}(-1)=0.
Somando todas as derivadas e igualando a zero:
(2x y + x^2 y') + (6 y + 6 x y') + 4 x + 5 + 10 y' = 0.

Passo 6

Agrupo os termos com y' e os termos sem y'. Os termos com y' são x^2 y' + 6 x y' + 10 y' = y'\bigl(x^2 + 6 x + 10\bigr). Os termos sem y' são 2x y + 6 y + 4 x + 5. Assim obtemos a equação linear em y':
y'\bigl(x^2 + 6 x + 10\bigr) + \bigl(2x y + 6 y + 4 x + 5\bigr) = 0.

Passo 7

Finalmente, isolo y' (esta linha descreve a operação algébrica de isolar a incógnita y'; a expressão resultante final aparece na seção de resposta):
subtraio o segundo grupo e divido pelo coeficiente de y'.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\,\frac{2x y + 6 y + 4x + 5}{x^2 + 6x + 10}

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