(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada
em cada item abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a equação que relaciona
e
:
O que se pede é a derivada
, isto é, encontrar
a partir dessa relação implícita entre
e
.
Passo 2
Primeiro passo prático: eliminar o denominador para evitar aplicar a regra do quociente mais adiante. Multiplico ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 3
Agora faço a multiplicação e simplifico termo a termo. No lado esquerdo:
Somando esses três resultados:
No lado direito:
Portanto a equação transformada é
Passo 4
Passo seguinte: trazer todos os termos para um lado para obter uma igualdade igual a zero, que facilita a diferenciação implícita:
Combino termos semelhantes (
,
):
Passo 5
Agora diferencio ambos os lados em relação a
. Lembrete didático: quando diferencio termos que envolvem
,
é função de
(ou seja,
), então uso a regra do produto quando aparece
multiplicando
e aplico a regra da cadeia ao derivar
(a derivada de
é
). A regra do produto diz que, para
,
Aplicando termo a termo à expressão
:
-
(produto: , ). -
. -
. -
. -
. -
.
Somando todas as derivadas e igualando a zero:
Passo 6
Agrupo os termos com
e os termos sem
. Os termos com
são
. Os termos sem
são
. Assim obtemos a equação linear em
:
Passo 7
Finalmente, isolo
(esta linha descreve a operação algébrica de isolar a incógnita
; a expressão resultante final aparece na seção de resposta):
subtraio o segundo grupo e divido pelo coeficiente de .
subtraio o segundo grupo e divido pelo coeficiente de