(Funções hiperbólicas) As funções (trigonométricas) hiperbólicas são combinações especiais de
e
que desempenham um papel importante na modelagem de alguns problemas da Engenharia e da Física. Alguns exemplos dessas funções são as funções reais dadas pelas leis
e
, onde:
Mostre que
, que
e que
;
Passo 1
O enunciado dá as definições das funções hiperbólicas:
Pede-se para mostrar as três igualdades:
Aqui e adiante
significa
.
Passo 2
Lembrando regras básicas de derivação que vamos usar (explicação rápida e prática):
- A derivada da exponencial é ela mesma: para qualquer função
vale . Em particular, e . - A derivada de uma soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas (linearidade).
- A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função.
Passo 3
Derivada de
: aplicar derivada termo a termo à definição
Derivando,
Pelo enunciado a última expressão é exatamente
. Logo
Passo 4
Comentário curto para fixar: o sinal menos do termo
vira um mais quando derivamos porque
, e o menos inicial na definição cancela esse sinal negativo.
Passo 5
Derivada de
: partir da definição
e derivar termo a termo:
A expressão final é a definição de
, portanto
Passo 6
Agora derivar
. A forma mais direta é usar a regra do quociente: se
e
são diferenciáveis e
, então
Aqui
e
. Pelos passos anteriores sabe-se
e
.
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Passo 8
Usar a identidade fundamental das hiperbólicas:
. Provando-a rapidamente a partir das definições:
Expandindo os quadrados:
Subtraindo:
portanto
Passo 9
Voltando ao passo do quociente e substituindo a identidade:
Como
é definida por
, temos