(Funções hiperbólicas) As funções (trigonométricas) hiperbólicas são combinações especiais de e^{x} e e^{-x} que desempenham um papel importante na modelagem de alguns problemas da Engenharia e da Física. Alguns exemplos dessas funções são as funções reais dadas pelas leis y=\operatorname{senh}(x), y=\operatorname{cosh} (x) e y=\operatorname{tgh}(x), onde:
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{cosh} (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \quad \text { e } \quad \operatorname{tgh}(x)=\frac{\operatorname{senh}(x)}{\operatorname{cosh} (x)} .
Mostre que (\operatorname{senh}(x))^{\prime}=\operatorname{cosh} (x), que (\operatorname{cosh} (x))^{\prime}=\operatorname{senh}(x) e que (\operatorname{tgh}(x))^{\prime}=\operatorname{sech}^{2}(x);

Passo 1

O enunciado dá as definições das funções hiperbólicas:
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{tgh}(x)=\frac{\operatorname{senh}(x)}{\operatorname{cosh}(x)}.
Pede-se para mostrar as três igualdades:
(\operatorname{senh}(x))'=\operatorname{cosh}(x),\qquad (\operatorname{cosh}(x))'=\operatorname{senh}(x),\qquad (\operatorname{tgh}(x))'=\operatorname{sech}^{2}(x).
Aqui e adiante \operatorname{sech}(x) significa \dfrac{1}{\operatorname{cosh}(x)}.

Passo 2

Lembrando regras básicas de derivação que vamos usar (explicação rápida e prática):
  • A derivada da exponencial é ela mesma: para qualquer função u(x) vale \big(e^{u(x)}\big)'=e^{u(x)}\,u'(x). Em particular, \big(e^{x}\big)'=e^{x} e \big(e^{-x}\big)'=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.
  • A derivada de uma soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas (linearidade).
  • A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função.

Passo 3

Derivada de \operatorname{senh}(x): aplicar derivada termo a termo à definição
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Derivando,
(\operatorname{senh}(x))'=\frac{(e^{x})'-(e^{-x})'}{2}=\frac{e^{x}-(-e^{-x})}{2}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Pelo enunciado a última expressão é exatamente \operatorname{cosh}(x). Logo
(\operatorname{senh}(x))'=\operatorname{cosh}(x).

Passo 4

Comentário curto para fixar: o sinal menos do termo e^{-x} vira um mais quando derivamos porque (e^{-x})'=-e^{-x}, e o menos inicial na definição cancela esse sinal negativo.

Passo 5

Derivada de \operatorname{cosh}(x): partir da definição
\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
e derivar termo a termo:
(\operatorname{cosh}(x))'=\frac{(e^{x})'+(e^{-x})'}{2}=\frac{e^{x}+(-e^{-x})}{2}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
A expressão final é a definição de \operatorname{senh}(x), portanto
(\operatorname{cosh}(x))'=\operatorname{senh}(x).

Passo 6

Agora derivar \operatorname{tgh}(x)=\dfrac{\operatorname{senh}(x)}{\operatorname{cosh}(x)}. A forma mais direta é usar a regra do quociente: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x)=\operatorname{senh}(x) e v(x)=\operatorname{cosh}(x). Pelos passos anteriores sabe-se u'(x)=\operatorname{cosh}(x) e v'(x)=\operatorname{senh}(x).

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
(\operatorname{tgh}(x))'=\frac{\operatorname{cosh}(x)\cdot\operatorname{cosh}(x)-\operatorname{senh}(x)\cdot\operatorname{senh}(x)}{\operatorname{cosh}^{2}(x)} =\frac{\operatorname{cosh}^{2}(x)-\operatorname{senh}^{2}(x)}{\operatorname{cosh}^{2}(x)}.

Passo 8

Usar a identidade fundamental das hiperbólicas: \operatorname{cosh}^{2}(x)-\operatorname{senh}^{2}(x)=1. Provando-a rapidamente a partir das definições:
\operatorname{cosh}^{2}(x)-\operatorname{senh}^{2}(x) =\frac{(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}.
Expandindo os quadrados:
(e^{x}+e^{-x})^{2}=e^{2x}+2+e^{-2x},\qquad (e^{x}-e^{-x})^{2}=e^{2x}-2+e^{-2x}.
Subtraindo:
\big(e^{2x}+2+e^{-2x}\big)-\big(e^{2x}-2+e^{-2x}\big)=4,
portanto
\operatorname{cosh}^{2}(x)-\operatorname{senh}^{2}(x)=\frac{4}{4}=1.

Passo 9

Voltando ao passo do quociente e substituindo a identidade:
(\operatorname{tgh}(x))'=\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}(x)}.
Como \operatorname{sech}(x) é definida por \operatorname{sech}(x)=\dfrac{1}{\operatorname{cosh}(x)}, temos
(\operatorname{tgh}(x))'=\operatorname{sech}^{2}(x).

Resposta

(\operatorname{senh}(x))'=\operatorname{cosh}(x)
(\operatorname{cosh}(x))'=\operatorname{senh}(x)
(\operatorname{tgh}(x))'=\operatorname{sech}^{2}(x)

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