(Funções hiperbólicas) As funções (trigonométricas) hiperbólicas são combinações especiais de
e
que desempenham um papel importante na modelagem de alguns problemas da Engenharia e da Física. Alguns exemplos dessas funções são as funções reais dadas pelas leis
e
, onde:
Mostre que
e que
Passo 1
O enunciado dá as definições das funções hiperbólicas
Pede para mostrar duas coisas:
- que
; - que
.
Vou trabalhar passo a passo, explicando cada fórmula usada e cada simplificação, como se estivéssemos juntos resolvendo na folha da prova.
Passo 2
Entendendo o que é
. Por definição,
é a função inversa de
. Ou seja, para todo
real vale
Antes de usar essa equivalência, é útil lembrar duas propriedades básicas e fáceis de verificar a partir das definições com exponenciais:
-
é estritamente crescente em , logo é bijetora de em . Portanto existe para todo . - A identidade hiperbólica fundamental:
que vem direto das definições em termos de
e
. Essa identidade será útil ao calcular derivadas.
Passo 3
Derivando a fórmula fechada para
(resolvendo a equação
em
). Começamos com
Multiplicando ambos os lados por
para evitar frações e eliminar
, obtemos
Rearranjando obtemos uma equação quadrática em
:
Faça a substituição
. Como
, a equação vira
Aplicando a fórmula quadrática para
:
Agora precisamos escolher o sinal correto. Como
, note que
pois
. Portanto a única raiz admissível é
Tomando logaritmo natural em ambos os lados (lembre que
garante que o log está bem definido):
Mas
era
. Assim chegamos à fórmula desejada.
Passo 4
Conclusão da primeira parte: mostramos que, para todo
,
Nota rápida e útil para prova: o domínio é todo
porque
é bijetora, e a expressão
está bem definida para todo
(a quantidade dentro do
é sempre positiva).
Passo 5
Agora vamos obter a derivada. Existem duas rotas naturais: (A) diferenciação implícita a partir de
; (B) derivar explicitamente a expressão logarítmica. Vou fazer as duas — a primeira é curta e conceitual, a segunda é um check algébrico que confirma o resultado.
Rota A — diferenciação implícita:
Partimos de
Partimos de
Derivando ambos os lados em relação a
(tratando
como função de
) e lembrando que
, obtemos
Portanto
Agora usamos a identidade hiperbólica citada no Passo 2:
. Como
, temos
Além disso
(sempre positivo), então
. Substituindo em
dá
Passo 6
Rota B — derivação direta da fórmula logarítmica (verificação algébrica):
Se , então pela regra da cadeia
Se
Vamos simplificar essa fração passo a passo. Coloque o numerador sobre o mesmo denominador
:
Assim
Observe que
aparece no numerador e
no denominador, são iguais, portanto simplificam-se, restando
Isso confirma o resultado da rota A.
Passo 7
Pequena checagem com valores simples (para ganhar confiança):
- Para
: , e a derivada em é . - Para
: e a derivada é .