(Funções hiperbólicas) As funções (trigonométricas) hiperbólicas são combinações especiais de e^{x} e e^{-x} que desempenham um papel importante na modelagem de alguns problemas da Engenharia e da Física. Alguns exemplos dessas funções são as funções reais dadas pelas leis y=\operatorname{senh}(x), y=\operatorname{cosh} (x) e y=\operatorname{tgh}(x), onde:
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{cosh} (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \quad \text { e } \quad \operatorname{tgh}(x)=\frac{\operatorname{senh}(x)}{\operatorname{cosh} (x)} .
Mostre que \operatorname{arcsenh}(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) e que (\operatorname{arcsenh}(x))^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} ; \quad

Passo 1

O enunciado dá as definições das funções hiperbólicas
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{tgh}(x)=\frac{\operatorname{senh}(x)}{\operatorname{cosh}(x)}.
Pede para mostrar duas coisas:
  1. que \operatorname{arcsenh}(x)=\ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right);
  2. que (\operatorname{arcsenh}(x))'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Vou trabalhar passo a passo, explicando cada fórmula usada e cada simplificação, como se estivéssemos juntos resolvendo na folha da prova.

Passo 2

Entendendo o que é \operatorname{arcsenh}. Por definição, \operatorname{arcsenh} é a função inversa de \operatorname{senh}. Ou seja, para todo x real vale
y=\operatorname{arcsenh}(x)\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{senh}(y)=x.
Antes de usar essa equivalência, é útil lembrar duas propriedades básicas e fáceis de verificar a partir das definições com exponenciais:
  • \operatorname{senh}(x) é estritamente crescente em \mathbb{R}, logo é bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Portanto \operatorname{arcsenh} existe para todo x\in\mathbb{R}.
  • A identidade hiperbólica fundamental:
\operatorname{cosh}^{2}(t)-\operatorname{senh}^{2}(t)=1\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R},
que vem direto das definições em termos de e^{t} e e^{-t}. Essa identidade será útil ao calcular derivadas.

Passo 3

Derivando a fórmula fechada para \operatorname{arcsenh} (resolvendo a equação \operatorname{senh}(y)=x em y). Começamos com
x=\operatorname{senh}(y)=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2e^{y} para evitar frações e eliminar e^{-y}, obtemos
2x e^{y}=e^{2y}-1.
Rearranjando obtemos uma equação quadrática em e^{y}:
e^{2y}-2x e^{y}-1=0.
Faça a substituição u=e^{y}. Como u=e^{y}>0, a equação vira
u^{2}-2x u-1=0.
Aplicando a fórmula quadrática para u:
u=\frac{2x\pm\sqrt{(2x)^{2}-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2} =\frac{2x\pm\sqrt{4x^{2}+4}}{2} =x\pm\sqrt{x^{2}+1}.
Agora precisamos escolher o sinal correto. Como u=e^{y}>0, note que
x-\sqrt{x^{2}+1}<0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
pois \sqrt{x^{2}+1}>|x|. Portanto a única raiz admissível é
u=e^{y}=x+\sqrt{x^{2}+1}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados (lembre que u>0 garante que o log está bem definido):
y=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
Mas y era \operatorname{arcsenh}(x). Assim chegamos à fórmula desejada.

Passo 4

Conclusão da primeira parte: mostramos que, para todo x\in\mathbb{R},
\operatorname{arcsenh}(x)=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
Nota rápida e útil para prova: o domínio é todo \mathbb{R} porque \operatorname{senh} é bijetora, e a expressão \ln(x+\sqrt{x^{2}+1}) está bem definida para todo x (a quantidade dentro do \ln é sempre positiva).

Passo 5

Agora vamos obter a derivada. Existem duas rotas naturais: (A) diferenciação implícita a partir de \operatorname{senh}(y)=x; (B) derivar explicitamente a expressão logarítmica. Vou fazer as duas — a primeira é curta e conceitual, a segunda é um check algébrico que confirma o resultado.
Rota A — diferenciação implícita:
Partimos de
\operatorname{senh}(y)=x,\qquad y=\operatorname{arcsenh}(x).
Derivando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x) e lembrando que \frac{d}{dt}\operatorname{senh}(t)=\operatorname{cosh}(t), obtemos
\operatorname{cosh}(y)\,\frac{dy}{dx}=1.
Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{cosh}(y)}.
Agora usamos a identidade hiperbólica citada no Passo 2: \operatorname{cosh}^{2}(y)-\operatorname{senh}^{2}(y)=1. Como \operatorname{senh}(y)=x, temos
\operatorname{cosh}^{2}(y)=1+\operatorname{senh}^{2}(y)=1+x^{2}.
Além disso \operatorname{cosh}(y)\ge 1 (sempre positivo), então \operatorname{cosh}(y)=\sqrt{1+x^{2}}. Substituindo em \frac{dy}{dx}
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.

Passo 6

Rota B — derivação direta da fórmula logarítmica (verificação algébrica):
Se f(x)=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr), então pela regra da cadeia
f'(x)=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.
Vamos simplificar essa fração passo a passo. Coloque o numerador sobre o mesmo denominador \sqrt{x^{2}+1}:
\text{numerador}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Assim
f'(x)=\frac{\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}} =\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}\,\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)}.
Observe que \sqrt{x^{2}+1}+x aparece no numerador e \bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) no denominador, são iguais, portanto simplificam-se, restando
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Isso confirma o resultado da rota A.

Passo 7

Pequena checagem com valores simples (para ganhar confiança):
  • Para x=0: \operatorname{arcsenh}(0)=\ln(0+\sqrt{0+1})=\ln(1)=0, e a derivada em 0 é \dfrac{1}{\sqrt{1+0}}=1.
  • Para x=1: \operatorname{arcsenh}(1)=\ln(1+\sqrt{2}) e a derivada é \dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \operatorname{arcsenh}(x)=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)
\displaystyle (\operatorname{arcsenh}(x))'=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}

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