(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
x^{3}+4 x y-3 y \sqrt[3]{y}=2 x \frac{2-3 x^{2}-4 y}{4 x-\sqrt[3]{y}}

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{3}+4 x y-3 y \sqrt[3]{y}=2 x \frac{2-3 x^{2}-4 y}{4 x-\sqrt[3]{y}}
e pede a derivada \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável dependente é y=y(x) (não está isolada).
  • Há produtos e uma fração envolvendo y e \sqrt[3]{y}.
  • Precisamos usar diferenciação implícita para obter \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Por que usar diferenciação implícita e quais regras vou aplicar (resumão didático):
  • Quando a relação entre x e y não está resolvida para y, deriva-se ambos os lados em relação a x, tratando y como função de x e aplicando a regra da cadeia quando derivamos expressões em y.
  • Regras que vou usar:
    • Regra do produto: se u(x)v(x), então \dfrac{d}{dx}[u v]=u'\,v+u\,v'.
    • Regra da cadeia: se temos g(y(x)), então \dfrac{d}{dx}g(y)=g'(y)\,y', onde escrevo y'=\dfrac{dy}{dx}.
    • Regra do quociente: se Q=\dfrac{N}{D}, então \dfrac{dQ}{dx}=\dfrac{N' D - N D'}{D^{2}}.
    • Potência fracionária: \dfrac{d}{dx}y^{m}=m y^{m-1} y'. Em particular \dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{y}=\dfrac{1}{3}y^{-2/3}y' e \dfrac{d}{dx}y^{4/3}=\dfrac{4}{3}y^{1/3}y'.
  • Vou também simplificar um termo: -3y\sqrt[3]{y} = -3 y^{4/3}, o que facilita derivar.

Passo 3

Derivo o lado esquerdo termo a termo, usando produto e cadeia quando necessário.
Primeiro reescrevo a equação como
x^{3}+4xy-3y^{4/3}=2x\cdot\frac{2-3x^{2}-4y}{4x-\sqrt[3]{y}}.
Derivando o lado esquerdo:
  • \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}(4x y)=4y+4x y' (produto: 4\cdot (x y)).
  • \dfrac{d}{dx}(-3y^{4/3})=-3\cdot \dfrac{4}{3}y^{1/3} y' =-4 y^{1/3} y'.
Somando,
\text{LHS}'=3x^{2}+4y+\bigl(4x-4y^{1/3}\bigr)y'.
Para notação conveniente, defino
A:=3x^{2}+4y,\qquad B:=4x-4y^{1/3}.
Assim \text{LHS}'=A + B y'.

Passo 4

Agora derivo o lado direito. Defino o numerador e denominador da fração:
N:=2-3x^{2}-4y,\qquad D:=4x-\sqrt[3]{y}=4x-y^{1/3}.
Assim o lado direito é 2x\cdot \dfrac{N}{D}. Usei essas letras para aplicar produto e quociente com clareza.
Primeiro, a regra do produto dá
\frac{d}{dx}\left(2x\cdot\frac{N}{D}\right)=2\cdot\frac{N}{D}+2x\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{N}{D}\right).
Agora aplico a regra do quociente em Q:=\dfrac{N}{D}:
N'=\dfrac{d}{dx}(2-3x^{2}-4y)=-6x-4y',
D'=\dfrac{d}{dx}(4x-y^{1/3})=4-\frac{1}{3}y^{-2/3}y'.
Então
\frac{dQ}{dx}=\frac{N' D - N D'}{D^{2}}=\frac{(-6x-4y')(4x-y^{1/3})-(2-3x^{2}-4y)\bigl(4-\tfrac{1}{3}y^{-2/3}y'\bigr)}{D^{2}}.
Portanto a derivada do lado direito fica
\text{RHS}'= \frac{2N D + 2x\bigl(N' D - N D'\bigr)}{D^{2}}.

Passo 5

Agora igualo \text{LHS}'=\text{RHS}':
A + B y' = \frac{2N D + 2x\bigl(N' D - N D'\bigr)}{D^{2}}.
Multiplico ambos os lados por D^{2} para eliminar denominadores:
\bigl(A + B y'\bigr)D^{2}=2N D + 2x\bigl(N' D - N D'\bigr).
Vou separar termos que contêm y' dos que não contêm, para isolar y'. Desenvolvendo os termos que envolvem N' e D' e reorganizando, é útil notar a simplificação
2N D -8xN = 2N(D-4x) = 2N(-y^{1/3})=-2y^{1/3}N,
pois D-4x=(4x-y^{1/3})-4x=-y^{1/3}. Isso reduz a expansão do lado direito.
Ao expandir e agrupar os termos (mostrando os passos essenciais, sem multiplicar tudo totalmente), obtemos a equação linear em y':
\bigl(B D^{2}\bigr) y' -\Bigl[-8x(4x-y^{1/3})+\frac{2x}{3}N y^{-2/3}\Bigr]y' = -2y^{1/3}N -12x^{2}D - A D^{2}.
Explicando cada pedaço:
  • O coeficiente de y' do lado esquerdo vem de B D^{2} (vindo do lado esquerdo) menos os termos de y' que aparecem no lado direito (esses são -8x(4x-y^{1/3}) vindo de 2xN'D e \tfrac{2x}{3}N y^{-2/3} vindo de -2x N D').
  • O lado independente (termos sem y') é -2y^{1/3}N -12x^{2}D - A D^{2}, que já simplifiquei usando a observação anterior.

Passo 6

Isolando y' temos
y'=\frac{-2y^{1/3}N -12x^{2}D - A D^{2}}{B D^{2} +8x(4x-y^{1/3}) - \dfrac{2x}{3}N y^{-2/3}}.
Lembrando as definições
A=3x^{2}+4y,\qquad B=4x-4y^{1/3},\qquad N=2-3x^{2}-4y,\qquad D=4x-y^{1/3},
essa fórmula expressa \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Resposta

\boxed{\,\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-2y^{1/3}(2-3x^{2}-4y)-12x^{2}(4x-y^{1/3})-(3x^{2}+4y)(4x-y^{1/3})^{2}}{(4x-4y^{1/3})(4x-y^{1/3})^{2}+8x(4x-y^{1/3})-\dfrac{2x}{3}(2-3x^{2}-4y)\,y^{-2/3}}\,}

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