(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada
em cada item abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede a derivada
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável dependente é
(não está isolada). - Há produtos e uma fração envolvendo
e . - Precisamos usar diferenciação implícita para obter
.
Passo 2
Por que usar diferenciação implícita e quais regras vou aplicar (resumão didático):
- Quando a relação entre
e não está resolvida para , deriva-se ambos os lados em relação a , tratando como função de e aplicando a regra da cadeia quando derivamos expressões em . - Regras que vou usar:
- Regra do produto: se
, então . - Regra da cadeia: se temos
, então , onde escrevo . - Regra do quociente: se
, então . - Potência fracionária:
. Em particular e .
- Regra do produto: se
- Vou também simplificar um termo:
, o que facilita derivar.
Passo 3
Derivo o lado esquerdo termo a termo, usando produto e cadeia quando necessário.
Primeiro reescrevo a equação como
Primeiro reescrevo a equação como
Derivando o lado esquerdo:
-
. -
(produto: ). -
.
Somando,
Para notação conveniente, defino
Assim
.
Passo 4
Agora derivo o lado direito. Defino o numerador e denominador da fração:
Assim o lado direito é
. Usei essas letras para aplicar produto e quociente com clareza.
Primeiro, a regra do produto dá
Agora aplico a regra do quociente em
:
Então
Portanto a derivada do lado direito fica
Passo 5
Agora igualo
:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Vou separar termos que contêm
dos que não contêm, para isolar
. Desenvolvendo os termos que envolvem
e
e reorganizando, é útil notar a simplificação
pois
. Isso reduz a expansão do lado direito.
Ao expandir e agrupar os termos (mostrando os passos essenciais, sem multiplicar tudo totalmente), obtemos a equação linear em
:
Explicando cada pedaço:
- O coeficiente de
do lado esquerdo vem de (vindo do lado esquerdo) menos os termos de que aparecem no lado direito (esses são vindo de e vindo de ). - O lado independente (termos sem
) é , que já simplifiquei usando a observação anterior.
Passo 6
Isolando
temos
Lembrando as definições
essa fórmula expressa
em termos de
e
.