(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada
em cada item abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede a derivada
(ou seja, encontrar
em função de
e
).\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona
e de forma implícita; não há isolado. - Há termos polinomiais em
e e também uma fração . - A derivada pedida é a derivada implícita
, que vai aparecer ao diferenciarmos termos que contêm .\n
O que será feito a seguir (sem resolver ainda): aplicar diferenciação em ambos os lados da igualdade, usando regra do produto quando aparecer, regra da cadeia quando diferenciarmos (pois depende de ) e regra do quociente para a fração . Depois isolaremos .
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação simples e exemplo mini):
- Regra do produto: para duas funções
e ,
Ex.:
, porque
e
.
- Regra da cadeia para funções compostas: se
depende de , então
- Regra do quociente: para
,
No caso
e
, lembre que
e
envolvem
quando
aparece.
Passo 3
Diferenciamos ambos os lados da equação termo a termo.\n
Primeiro, escrevo a equação numa forma conveniente (colocar tudo em um lado é opcional; aqui vou derivar tal qual está):
Primeiro, escrevo a equação numa forma conveniente (colocar tudo em um lado é opcional; aqui vou derivar tal qual está):
Derivando o lado esquerdo:
-
-
(regra do produto). -
(regra da cadeia). -
\n
Somando:
Agrupando os termos com
:
Agora o lado direito:
onde
\n
Calculamos e
:
Calculamos
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo
:
Lembre que no lado direito temos um sinal negativo na frente da fração, então
Passo 4
Simplificamos o numerador da derivada da fração passo a passo.\n
Defina para abreviar. O numerador
é
Defina
Expandindo cuidadosamente:
Reagrupando constantes e termos com
:
- Termos sem
: . - Termos com
: .\n
Calcule os termos sem:
Agora os termos com
:
Calcule o fator dentro dos parênteses:
Portanto os termos com
reduzem-se a
.\n
Assim o numerador final é
Assim o numerador final é
Logo
E devido ao sinal negativo que vinha no RHS da equação original,
Passo 5
Agora igualamos as derivadas do lado esquerdo e do direito e isolamos
.\n
Temos
Temos
Multiplicamos ambos os lados por
(que é
) para eliminar o denominador:
Note que
. Agora agrupamos todos os termos que contêm
no lado esquerdo:
Passo 6
Isolando
obtemos a expressão final:
Essa é a derivada implícita
em termos de
e
. Em provas, deixar em termos de
e
está correto, pois a relação entre
e
é implícita pela equação inicial. Se for desejável, pode-se expandir os quadrados e cubos para obter uma fórmula completamente expandida, mas a forma fatorada apresentada costuma ser mais limpa e menos sujeita a erros de sinais.