(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
x^{2}+x y+y^{2}-5 x=2-\frac{5-3 x-y}{x+2 y}

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{2}+x y+y^{2}-5 x=2-\frac{5-3 x-y}{x+2 y}
e pede a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} (ou seja, encontrar y' em função de x e y).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona x e y de forma implícita; não há y isolado.
  • Há termos polinomiais em x e y e também uma fração \dfrac{5-3x-y}{x+2y}.
  • A derivada pedida é a derivada implícita \dfrac{dy}{dx}, que vai aparecer ao diferenciarmos termos que contêm y.\n
    O que será feito a seguir (sem resolver ainda): aplicar diferenciação em ambos os lados da igualdade, usando regra do produto quando aparecer xy, regra da cadeia quando diferenciarmos y^2 (pois y depende de x) e regra do quociente para a fração \dfrac{5-3x-y}{x+2y}. Depois isolaremos y'.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação simples e exemplo mini):
  • Regra do produto: para duas funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}[u v]=u'\,v+u\,v'.
Ex.: \frac{d}{dx}[x\cdot y]=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y', porque d(x)/dx=1 e d(y)/dx=y'.
  • Regra da cadeia para funções compostas: se y depende de x, então
\frac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot y'.
  • Regra do quociente: para u(x)/v(x),
\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
No caso u=5-3x-y e v=x+2y, lembre que u' e v' envolvem y' quando y aparece.

Passo 3

Diferenciamos ambos os lados da equação termo a termo.\n
Primeiro, escrevo a equação numa forma conveniente (colocar tudo em um lado é opcional; aqui vou derivar tal qual está):
x^{2}+x y+y^{2}-5 x=2-\frac{5-3 x-y}{x+2 y}.
Derivando o lado esquerdo:
  • \dfrac{d}{dx}[x^{2}]=2x.
  • \dfrac{d}{dx}[x y]=y + x y' (regra do produto).
  • \dfrac{d}{dx}[y^{2}]=2y\,y' (regra da cadeia).
  • \dfrac{d}{dx}[-5x]=-5.\n
    Somando:
\frac{d}{dx}\bigl(\text{LHS}\bigr)=2x + y + x y' + 2y\,y' -5.
Agrupando os termos com y':
\frac{d}{dx}\bigl(\text{LHS}\bigr)=2x + y -5 + y'\,(x+2y).
Agora o lado direito:
\frac{d}{dx}\left(2-\frac{5-3x-y}{x+2y}\right)=0-\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right),
onde \;u=5-3x-y,\;v=x+2y.\n
Calculamos u' e v':
u'=-3 - y',\qquad v'=1+2y'.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Substituindo u,u',v,v':
\frac{d}{dx}\left(\frac{5-3x-y}{x+2y}\right)=\frac{(-3-y')(x+2y)-(5-3x-y)(1+2y')}{(x+2y)^{2}}.
Lembre que no lado direito temos um sinal negativo na frente da fração, então
\frac{d}{dx}\bigl(\text{RHS}\bigr)= -\frac{(-3-y')(x+2y)-(5-3x-y)(1+2y')}{(x+2y)^{2}}.

Passo 4

Simplificamos o numerador da derivada da fração passo a passo.\n
Defina v=x+2y para abreviar. O numerador N é
N = (-3-y')v - (5-3x-y)(1+2y').
Expandindo cuidadosamente:
N = -3v - y'v - (5-3x-y) - 2y'(5-3x-y).
Reagrupando constantes e termos com y':
  • Termos sem y': -3v - (5-3x-y).
  • Termos com y': -y'v - 2y'(5-3x-y).\n
    Calcule os termos sem y':
-3v - (5-3x-y) = -3(x+2y) -5 +3x + y = -5 -5y.
Agora os termos com y':
-y'v - 2y'(5-3x-y) = y'\Big(-v -2(5-3x-y)\Big).
Calcule o fator dentro dos parênteses:
-v -2(5-3x-y)=-(x+2y)-10+6x+2y=5x-10.
Portanto os termos com y' reduzem-se a y'(5x-10).\n
Assim o numerador final é
N = -5 -5y + y'(5x-10).
Logo
\frac{d}{dx}\left(\frac{5-3x-y}{x+2y}\right)=\frac{-5 -5y + y'(5x-10)}{(x+2y)^{2}}.
E devido ao sinal negativo que vinha no RHS da equação original,
\frac{d}{dx}\bigl(\text{RHS}\bigr)= -\frac{-5 -5y + y'(5x-10)}{(x+2y)^{2}}=\frac{5+5y - y'(5x-10)}{(x+2y)^{2}}.

Passo 5

Agora igualamos as derivadas do lado esquerdo e do direito e isolamos y'.\n
Temos
2x + y -5 + y'(x+2y)=\frac{5+5y - y'(5x-10)}{(x+2y)^{2}}.
Multiplicamos ambos os lados por (x+2y)^{2} (que é v^{2}) para eliminar o denominador:
(2x + y -5)(x+2y)^{2} + y'(x+2y)(x+2y)^{2} = 5+5y - y'(5x-10).
Note que (x+2y)(x+2y)^{2}=(x+2y)^{3}. Agora agrupamos todos os termos que contêm y' no lado esquerdo:
y'\bigl((x+2y)^{3} + (5x-10)\bigr) = 5+5y - (2x + y -5)(x+2y)^{2}.

Passo 6

Isolando y' obtemos a expressão final:
y'=\frac{5+5y - (2x + y -5)(x+2y)^{2}}{(x+2y)^{3} + 5x -10}.
Essa é a derivada implícita \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y. Em provas, deixar em termos de x e y está correto, pois a relação entre x e y é implícita pela equação inicial. Se for desejável, pode-se expandir os quadrados e cubos para obter uma fórmula completamente expandida, mas a forma fatorada apresentada costuma ser mais limpa e menos sujeita a erros de sinais.

Resposta

y'=\frac{5+5y - (2x + y -5)(x+2y)^{2}}{(x+2y)^{3} + 5x -10}

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