(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada
em cada item abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre
e
:
O que se pede: encontrar a derivada
associada a essa relação (ou seja, a derivada implícita
).
Passo 2
Primeiro simplificar o lado direito:
portanto a relação fica
Passo 3
Duas formas naturais de proceder: (i) isolar
tomando logaritmo e depois derivar; (ii) aplicar diferenciação implícita direto sobre a igualdade. Vou usar diferenciação implícita porque é direta e ensina bem o uso da regra da cadeia; é igualmente curta que tomar logaritmo aqui.
Passo 4
Derivar ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo temos uma função composta
com
. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
. Aqui
O lado direito
é constante, então sua derivada é
. Assim, ao derivar:
Passo 5
Como
é sempre diferente de zero para quaisquer
reais, pode-se dividir a igualdade por
sem problemas. Isso dá
Resolvendo para
:
Passo 6
Confirmação alternativa (curta): a partir de
toma-se logaritmo natural para isolar:
derivando ambas as partes:
, novamente
. Mesma resposta, boa verificação.