(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
e^{x+2 y}=1-\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a relação entre x e y:
e^{x+2y}=1-\frac{1}{2}.
O que se pede: encontrar a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} associada a essa relação (ou seja, a derivada implícita y').

Passo 2

Primeiro simplificar o lado direito:
1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},
portanto a relação fica
e^{x+2y}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Duas formas naturais de proceder: (i) isolar y tomando logaritmo e depois derivar; (ii) aplicar diferenciação implícita direto sobre a igualdade. Vou usar diferenciação implícita porque é direta e ensina bem o uso da regra da cadeia; é igualmente curta que tomar logaritmo aqui.

Passo 4

Derivar ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo temos uma função composta e^{u(x)} com u(x)=x+2y(x). A regra da cadeia diz que a derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui
u'(x)=\frac{d}{dx}(x+2y)=1+2\frac{dy}{dx}=1+2y'.
O lado direito \dfrac{1}{2} é constante, então sua derivada é 0. Assim, ao derivar:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x+2y}\bigr)=e^{x+2y}\bigl(1+2y'\bigr)=0.

Passo 5

Como e^{x+2y} é sempre diferente de zero para quaisquer x,y reais, pode-se dividir a igualdade por e^{x+2y} sem problemas. Isso dá
1+2y'=0.
Resolvendo para y':
y'=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Confirmação alternativa (curta): a partir de e^{x+2y}=\tfrac{1}{2} toma-se logaritmo natural para isolar:
x+2y=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2,
derivando ambas as partes: 1+2y'=0, novamente y'=-\tfrac{1}{2}. Mesma resposta, boa verificação.

Resposta

y'=-\frac{1}{2}

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