(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
y e^{\operatorname{arctg}(x)}=2-\frac{y}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y:
y e^{\arctan(x)} = 2 - \frac{y}{x^{2}+1}.
O que se pede é a derivada \dfrac{dy}{dx} (também escrita y') em função de x (pode aparecer também y durante a dedução, mas a resposta final pode ser escrita apenas em x).
Informações relevantes que já temos no enunciado:
  • A incógnita dependente é y=y(x).
  • Há um produto y\cdot e^{\arctan(x)} e uma fração \dfrac{y}{x^{2}+1}.
  • Vamos precisar derivar funções compostas ( e^{\arctan x}), produto ( y\cdot e^{\arctan x}) e a fração envolvendo y.

Passo 2

Revisão rápida e prática das regras que vou usar (com explicação simples):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}(u v)=u'v+uv'. Aqui u=y(x) e v=e^{\arctan x}.
  • Regra da cadeia: se w(x)=\mathrm{exp}(g(x)), então w'= \mathrm{exp}(g(x))\cdot g'(x). Mais geralmente, \dfrac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))\cdot g'(x).
  • Derivada de \arctan(x): \dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • Derivada de e^{\arctan x} pela cadeia: \dfrac{d}{dx}e^{\arctan x}=e^{\arctan x}\cdot\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • Para \dfrac{y}{x^{2}+1} é conveniente ver como y(x)\cdot (x^{2}+1)^{-1} e aplicar produto + cadeia (ou regra do quociente). Usarei a forma y\cdot (x^{2}+1)^{-1} para ficar mais simples.
Exemplo rápido para fixar: se h(x)=y(x)\,e^{\arctan x} então
h'(x)=y'(x)\,e^{\arctan x}+y(x)\,e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
Tenho que lembrar que y'(x) é o que queremos isolar.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x.
Esquerda: \dfrac{d}{dx}\big(y e^{\arctan x}\big). Aplicando regra do produto e regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(y e^{\arctan x}\big)=y'e^{\arctan x}+y\cdot e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
Direita: \dfrac{d}{dx}\!\left(2-\frac{y}{x^{2}+1}\right).
  • Derivada de 2 é 0.
  • Para \dfrac{y}{x^{2}+1}=y(x)\,(x^{2}+1)^{-1}, usando produto:
\frac{d}{dx}\left(y\,(x^{2}+1)^{-1}\right)=y'\,(x^{2}+1)^{-1}+y\cdot\big(-(x^{2}+1)^{-2}\cdot 2x\big).
Portanto
\frac{d}{dx}\left(2-\frac{y}{x^{2}+1}\right)=-\frac{y'}{x^{2}+1}+\frac{2xy}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Igualando as derivadas das duas margens obtemos a equação para y':
y'e^{\arctan x}+y e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^{2}} \;=\; -\frac{y'}{x^{2}+1}+\frac{2xy}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora isolamos os termos com y' no mesmo lado e fatoramos y':
y'\left(e^{\arctan x}+\frac{1}{x^{2}+1}\right) = \frac{2xy}{(x^{2}+1)^{2}}-\frac{y e^{\arctan x}}{x^{2}+1}.
Finalmente, resolvendo para y' (dividindo pelo fator à esquerda) obtemos uma forma expressa em termos de x e y:
y'=\frac{\displaystyle \frac{2xy}{(x^{2}+1)^{2}}-\frac{y e^{\arctan x}}{x^{2}+1}}{\displaystyle e^{\arctan x}+\frac{1}{x^{2}+1}}.
(Essa é uma forma correta e direta por diferenciação implícita; a partir daqui pode-se simplificar algébrica e limpamente ou substituir y resolvendo explicitamente a equação original, se quiser deixar y' apenas em função de x.)

Passo 5

Para obter y' escrito somente em função de x (sem aparecer y), primeiro isolamos y na equação original. Multiplicando a equação inicial por x^{2}+1:
(x^{2}+1)\,y e^{\arctan x}=2(x^{2}+1)-y.
Reagrupando em y:
y\big((x^{2}+1)e^{\arctan x}+1\big)=2(x^{2}+1).
Logo
y=\frac{2(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)e^{\arctan x}+1}.
Substituindo essa expressão de y na fórmula de y' do Passo 4 e fazendo simplificações algébricas (cancelando fatores x^{2}+1 quando possível) chega-se a uma forma mais limpa que depende só de x. Fiz a substituição e simplifiquei com cuidado algébrico — os passos são apenas manipulações de frações e cancelamentos.

Resposta

y'=\frac{2\bigl(2x-(x^{2}+1)e^{\arctan x}\bigr)}{\bigl((x^{2}+1)e^{\arctan x}+1\bigr)^{2}}

Exercícios relacionados