(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada
em cada item abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
e
:
O que se pede é a derivada
(também escrita
) em função de
(pode aparecer também
durante a dedução, mas a resposta final pode ser escrita apenas em
).
Informações relevantes que já temos no enunciado:
- A incógnita dependente é
. - Há um produto
e uma fração . - Vamos precisar derivar funções compostas (
), produto ( ) e a fração envolvendo .
Passo 2
Revisão rápida e prática das regras que vou usar (com explicação simples):
- Regra do produto: se
e são funções, . Aqui e . - Regra da cadeia: se
, então . Mais geralmente, . - Derivada de
: . - Derivada de
pela cadeia: . - Para
é conveniente ver como e aplicar produto + cadeia (ou regra do quociente). Usarei a forma para ficar mais simples.
Exemplo rápido para fixar: se
então
Tenho que lembrar que
é o que queremos isolar.
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados da igualdade em relação a
.
Esquerda:
. Aplicando regra do produto e regra da cadeia:
Direita:
.
- Derivada de
é . - Para
, usando produto:
Portanto
Passo 4
Igualando as derivadas das duas margens obtemos a equação para
:
Agora isolamos os termos com
no mesmo lado e fatoramos
:
Finalmente, resolvendo para
(dividindo pelo fator à esquerda) obtemos uma forma expressa em termos de
e
:
(Essa é uma forma correta e direta por diferenciação implícita; a partir daqui pode-se simplificar algébrica e limpamente ou substituir
resolvendo explicitamente a equação original, se quiser deixar
apenas em função de
.)
Passo 5
Para obter
escrito somente em função de
(sem aparecer
), primeiro isolamos
na equação original. Multiplicando a equação inicial por
:
Reagrupando em
:
Logo
Substituindo essa expressão de
na fórmula de
do Passo 4 e fazendo simplificações algébricas (cancelando fatores
quando possível) chega-se a uma forma mais limpa que depende só de
. Fiz a substituição e simplifiquei com cuidado algébrico — os passos são apenas manipulações de frações e cancelamentos.