Utilize o método de Newton e uma calculadora para encontrar uma solução para a equação:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Resolver numericamente a equação
- Foi fornecido um valor inicial (para usar no método de Newton):
. - O objetivo é obter uma solução (uma raiz) usando o método de Newton e calculadora, com explicações passo a passo.
Passo 2
O método de Newton — ideia e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
- Definimos a função cujo zero procuramos:
Aqui cada termo significa:
-
e e são polinomiais; -
é a parte logarítmica (nota: domínio exige ); -
é função exponencial com base 2. -
Derivada
: precisamos dela para o método de Newton. Calculamos termo a termo: -
; -
; -
(regra: ); -
; -
.
Portanto
-
- Regra de iteração (fórmula de Newton): a partir de
obtemos
- Critério de parada prático (com calculadora): paramos quando
ficar muito pequeno (por exemplo ) ou quando a correção for menor que uma tolerância desejada. Vou iterar até que o resíduo fique claramente pequeno (já que a convergência aqui é rápida).
Passo 3
Primeira iteração — calcular
e
usando
.
Calculos intermédios (todos com calculadora):
-
. -
. -
. -
. -
.
Agora
:
Derivada em
:
-
. -
. -
. -
. -
. -
é constante.
Somando:
Atualização de Newton:
Comentário rápido: a correção foi pequena (cerca de
), sinal de que já estamos muito perto da raiz.
Passo 4
Segunda iteração — calcular
e
com
.
Cálculos (com calculadora, usando
):
-
. -
. -
. -
. -
.
Avaliação:
Derivada em
:
-
, . -
. -
. -
. -
.
Somando:
Atualização:
Observação: o resíduo
já é da ordem de
e a correção para obter
foi da ordem de
. Isso indica convergência rápida e que
é uma boa aproximação da raiz.
Passo 5
Critério de parada e confirmação final.
- Como
será da ordem a (correções agora muito pequenas) e a diferença é pequena, podemos aceitar como solução com precisão prática de pelo menos 7–8 casas decimais. - Portanto a raiz encontrada pelo método de Newton (com início em
) é aproximadamente .