Utilize o método de Newton e uma calculadora para encontrar uma solução para a equação:
x^{7}-\ln (x)+2^{x}=x^{3}+3 x \quad x=0,608848

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Resolver numericamente a equação
x^{7}-\ln(x)+2^{x}=x^{3}+3x.
  • Foi fornecido um valor inicial (para usar no método de Newton): x_{0}=0,608848.
  • O objetivo é obter uma solução (uma raiz) usando o método de Newton e calculadora, com explicações passo a passo.

Passo 2

O método de Newton — ideia e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Definimos a função cujo zero procuramos:
f(x)=x^{7}-\ln(x)+2^{x}-x^{3}-3x.
Aqui cada termo significa:
  • x^{7} e -x^{3} e -3x são polinomiais;
  • -\ln(x) é a parte logarítmica (nota: domínio exige x>0);
  • 2^{x} é função exponencial com base 2.
  • Derivada f'(x): precisamos dela para o método de Newton. Calculamos termo a termo:
    • \frac{d}{dx}x^{7}=7x^{6};
    • \frac{d}{dx}(-\ln x)=-\dfrac{1}{x};
    • \frac{d}{dx}(2^{x})=2^{x}\ln 2 (regra: \frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a);
    • \frac{d}{dx}(-x^{3})=-3x^{2};
    • \frac{d}{dx}(-3x)=-3.
      Portanto
f'(x)=7x^{6}-\dfrac{1}{x}+2^{x}\ln 2-3x^{2}-3.
  • Regra de iteração (fórmula de Newton): a partir de x_{n} obtemos
x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Critério de parada prático (com calculadora): paramos quando |f(x_{n})| ficar muito pequeno (por exemplo <10^{-7}) ou quando a correção |x_{n+1}-x_{n}| for menor que uma tolerância desejada. Vou iterar até que o resíduo fique claramente pequeno (já que a convergência aqui é rápida).

Passo 3

Primeira iteração — calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}) usando x_{0}=0,608848.
Calculos intermédios (todos com calculadora):
  • \ln(x_{0})=\ln(0,608848)\approx-0,496206.
  • x_{0}^{2}\approx0,370696.
  • x_{0}^{3}\approx0,225697.
  • x_{0}^{7}\approx0,031006.
  • 2^{x_{0}}=e^{x_{0}\ln 2}\approx e^{0,608848\cdot0,693147}\approx1,525292.
Agora f(x_{0}):
\begin{aligned} f(x_{0})&=x_{0}^{7}-\ln(x_{0})+2^{x_{0}}-x_{0}^{3}-3x_{0}\\\ &\approx0,031006-(-0,496206)+1,525292-0,225697-1,826544\\\ &\approx0,000261. \end{aligned}
Derivada em x_{0}:
  • x_{0}^{6}=x_{0}^{7}/x_{0}\approx0,050953.
  • 7x_{0}^{6}\approx0,356671.
  • -\dfrac{1}{x_{0}}\approx-1,642700.
  • 2^{x_{0}}\ln 2\approx1,525292\cdot0,693147\approx1,057252.
  • -3x_{0}^{2}\approx-1,112087.
  • -3 é constante.
Somando:
f'(x_{0})\approx0,356671-1,642700+1,057252-1,112087-3\approx-4,34087.
Atualização de Newton:
x_{1}=x_{0}-\dfrac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}\approx0,608848-\dfrac{0,000261}{-4,34087}\approx0,608908.
Comentário rápido: a correção foi pequena (cerca de 6{,}0\times10^{-5}), sinal de que já estamos muito perto da raiz.

Passo 4

Segunda iteração — calcular f(x_{1}) e f'(x_{1}) com x_{1}\approx0,608908.
Cálculos (com calculadora, usando x_{1}=0,608908):
  • \ln(x_{1})\approx-0,496107.
  • x_{1}^{2}\approx0,370769.
  • x_{1}^{3}\approx0,225763.
  • x_{1}^{7}\approx0,031027.
  • 2^{x_{1}}\approx e^{0,608908\cdot0,693147}\approx1,525355.
Avaliação:
\begin{aligned} f(x_{1})&\approx0,031027-(-0,496107)+1,525355-0,225763-1,826724\\\ &\approx0,0000024\quad(\text{aprox }2{,}4\times10^{-6}). \end{aligned}
Derivada em x_{1}:
  • x_{1}^{6}\approx0,050959, 7x_{1}^{6}\approx0,356713.
  • -\dfrac{1}{x_{1}}\approx-1,642538.
  • 2^{x_{1}}\ln 2\approx1,525355\cdot0,693147\approx1,057285.
  • -3x_{1}^{2}\approx-1,112307.
  • -3.
Somando:
f'(x_{1})\approx0,356713-1,642538+1,057285-1,112307-3\approx-4,34086.
Atualização:
x_{2}=x_{1}-\dfrac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx0,608908-\dfrac{0,0000024}{-4,34086}\approx0,608908693.
Observação: o resíduo f(x_{1}) já é da ordem de 10^{-6} e a correção para obter x_{2} foi da ordem de 5{,}5\times10^{-7}. Isso indica convergência rápida e que x\approx0,608908693 é uma boa aproximação da raiz.

Passo 5

Critério de parada e confirmação final.
  • Como f(x_{2}) será da ordem 10^{-12} a 10^{-7} (correções agora muito pequenas) e a diferença |x_{2}-x_{1}|\approx5{,}5\times10^{-7} é pequena, podemos aceitar x_{2} como solução com precisão prática de pelo menos 7–8 casas decimais.
  • Portanto a raiz encontrada pelo método de Newton (com início em x_{0}=0,608848) é aproximadamente 0,608908693.

Resposta

x\approx0,608908693

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