Derivar as funções numeradas de 17 a 24 .
y=\left(2+3 x^{2}\right)^{5}

Resolução:

A função pode ser escrita assim: y=u^{5}, com u=2+3 x^{2}
\frac{d y}{d u}=5 u^{4}
\frac{d u}{d x}=6 x \Rightarrow d u=6 x d x
Então:
\frac{d y}{d u}=\frac{d y}{6 x d x}=5\left(2+3 x^{2}\right)^{4}
\frac{d y}{d x}=6 x .5\left(2+3 x^{2}\right)^{4}
\frac{d y}{d x}=30 x .\left(2+3 x^{2}\right)^{4}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Dado: a função y=\left(2+3x^{2}\right)^{5}.
  • Pedido: calcular a derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • Informação útil que foi dada implicitamente: a função é uma composição de uma função potência com um polinômio interno (ou seja, algo da forma \text{algo}^{5} onde o “algo” depende de x).

Passo 2

Identificar uma boa forma de trabalhar: usar substituição para deixar a estrutura clara.
Defina a função interna
u=2+3x^{2}.
Então a função fica escrita como
y=u^{5}.
Isto é só uma mudança de escrita que facilita aplicar regras de derivação de forma sistemática.

Passo 3

Derivar a parte externa usando a regra da potência (explicando a regra).
Regra da potência (para uma variável u): se y=u^{n} com n constante, então
\frac{dy}{du}=n\,u^{\,n-1}.
Aqui n=5. Assim,
\frac{dy}{du}=5u^{4}.
Explicação curta: a regra pega o expoente 5 e multiplica por u^{5-1}=u^{4}.

Passo 4

Derivar a parte interna u em relação a x (explicando cada termo).
Temos u=2+3x^{2}.
  • A derivada de uma constante ( 2) é 0.
  • A derivada de 3x^{2} é 3 vezes a derivada de x^{2}. A derivada de x^{2} é 2x (regra do potência com n=2).
    Portanto
\frac{du}{dx}=3\cdot 2x=6x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia e simplificar (explicando a regra).
Regra da cadeia (em palavras): se y depende de u e u depende de x, então a derivada de y em relação a x é o produto da derivada de y em relação a u pela derivada de u em relação a x:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{dy}{dx}=5u^{4}\cdot 6x.
Agora substituir de volta u=2+3x^{2} e multiplicar 5 por 6x:
\frac{dy}{dx}=30x\,(2+3x^{2})^{4}.
Isto já está em forma simplificada e é a resposta final.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=30x\,(2+3x^{2})^{4}

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