Derivar as funções numeradas de 17 a 24 .
Resolução:
A função pode ser escrita assim:
, com
Então:
Então:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Dado: a função
. - Pedido: calcular a derivada
. - Informação útil que foi dada implicitamente: a função é uma composição de uma função potência com um polinômio interno (ou seja, algo da forma
onde o “algo” depende de ).
Passo 2
Identificar uma boa forma de trabalhar: usar substituição para deixar a estrutura clara.
Defina a função interna
Defina a função interna
Então a função fica escrita como
Isto é só uma mudança de escrita que facilita aplicar regras de derivação de forma sistemática.
Passo 3
Derivar a parte externa usando a regra da potência (explicando a regra).
Regra da potência (para uma variável ): se
com
constante, então
Regra da potência (para uma variável
Aqui
. Assim,
Explicação curta: a regra pega o expoente
e multiplica por
.
Passo 4
Derivar a parte interna
em relação a
(explicando cada termo).
Temos .
Temos
- A derivada de uma constante (
) é . - A derivada de
é vezes a derivada de . A derivada de é (regra do potência com ).
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia e simplificar (explicando a regra).
Regra da cadeia (em palavras): se depende de
e
depende de
, então a derivada de
em relação a
é o produto da derivada de
em relação a
pela derivada de
em relação a
:
Regra da cadeia (em palavras): se
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Agora substituir de volta
e multiplicar
por
:
Isto já está em forma simplificada e é a resposta final.