Derivações: regra da cadeia e derivação implícita - Calcule a derivada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
em relação a
. Estamos trabalhando com derivadas, especificamente usando a regra da cadeia e a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar lembrar como aplicar essas regras para encontrar a taxa de variação dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vamos derivar. Temos um numerador
e um denominador
. Para encontrar a derivada de uma fração, usamos a regra do quociente, que nos ajuda a derivar uma função que é o quociente de duas funções.
Passo 3
Vamos lembrar a regra do quociente. Se temos uma função
, sua derivada é dada por:
Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Vamos calcular
, que é a derivada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Reescrevendo
como
, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
. Aplicamos a derivada termo a termo:
Passo 6
Com
e
determinados, aplicamos a regra do quociente:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão unificando os termos:
Para deixar mais limpo, deixamos a derivada na forma final acima.
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
ou, simplificando,