Derivações: regra da cadeia e derivação implícita - Calcule a derivada. D_x(raiz(3 x - 4) / (x^2 - 2 x + 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função em relação a . Estamos trabalhando com derivadas, especificamente usando a regra da cadeia e a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar lembrar como aplicar essas regras para encontrar a taxa de variação dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vamos derivar. Temos um numerador e um denominador . Para encontrar a derivada de uma fração, usamos a regra do quociente, que nos ajuda a derivar uma função que é o quociente de duas funções.

Passo 3

Vamos lembrar a regra do quociente. Se temos uma função , sua derivada é dada por:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos calcular , que é a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia. Reescrevendo como , a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular , que é a derivada de . Aplicamos a derivada termo a termo:

Passo 6

Com e determinados, aplicamos a regra do quociente:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão unificando os termos:
Para deixar mais limpo, deixamos a derivada na forma final acima.

Resposta

A derivada de em relação a é:
ou, simplificando,

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