Como a derivada afeta o gráfico
Encontre os valores máximos e mínimos globais def (se existirem) no intervalo dado:
m(x)=1 /(x-x^2) no intervalo (0,1)

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais de m(x)=1x - x^2 no intervalo (0,1). Vamos usar cálculo de derivada para encontrar pontos críticos e depois analisar o comportamento nos limites das bordas do domínio.

Passo 2

Derivando a função como uma potência negativa, temos m(x)=(x - x^2)^-1. Logo,
m'(x) = -1cdot(x - x^2)^-2cdot(1 - 2x) ;=;-(1 - 2x)(x - x^2)^2 ;=;2x - 1l(x(1-x)r)^2

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos m'(x)=0. Como o denominador nunca é zero para xin(0,1), basta zerar o numerador:
2x - 1 = 0 Longrightarrow x = 12

Passo 4

Vamos ver o sinal de m'(x) para classificar o ponto:
  • Se x<tfrac12, então 2x-1<0 e m'(x)<0: a função está decrescendo.
  • Se x>tfrac12, então 2x-1>0 e m'(x)>0: a função está crescendo.
Isso mostra que em x=tfrac12 há um mínimo local (e, como veremos, global).

Passo 5

Agora analisamos o comportamento nos limites das bordas:
limxto0^+m(x) =limxto0^+1x(1-x) =+infty,
limxto1^-m(x) =limxto1^-1x(1-x) =+infty
Portanto, não há máximo finito no intervalo (o valor cresce sem limite ao se aproximar de 0 ou de 1).

Resposta

O mínimo global ocorre em x=tfrac12 com valor
ml(tfrac12r)=4
Não existe máximo global finito em (0,1).

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