Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x 0+(1x^2-1sen x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0^+(1x^2-1sin x)
Este é um caso de forma indeterminada infty-infty, então vamos primeiro escrever tudo num único quociente para poder usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Colocamos as duas parcelas sobre o mesmo denominador:
1x^2-1senx =senx - x^2x^2,senx

Passo 3

Verificamos o comportamento no limite:
  • Numerador: sin x - x^2to 0 - 0 = 0.
  • Denominador: x^2,sin xto 0cdot 0=0.
    Portanto temos uma forma 0/0 e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Derivamos numerador e denominador em relação a x:
  • (senx - x^2)' = cos x - 2x.
  • (x^2,senx)' = 2x,senx + x^2cos x.
    Assim o limite vira
limxto0^+ cos x - 2x2x,senx + x^2cos x

Passo 5

Agora avaliamos em xto0^+:
  • No numerador: cos0 - 2cdot0 = 1.
  • No denominador: 2cdot0cdot0 + 0^2cdot1 = 0, mas para x>0 pequeno o denominador é positivo e tende a 0^+.
    Logo o quociente tende a +infty.

Resposta

+infty

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