Obtenha soluções particulares para as equações a seguir. Mostre as etapas da derivação, começando com a solução geral ( L, R, b são constantes).
d r / d t=-2 t r, r(0)=r0

Passo 1

A questão nos dá a equação diferencial de primeira ordem \r
drdt=-2,t,r \r
com condição inicial r(0)=r0. \r
O conteúdo aqui é EDO separável: vamos separar variáveis, integrar para obter a solução geral e depois usar r(0)=r0 para achar a solução particular.

Passo 2

Separamos as variáveis r e t, escrevendo todos os r de um lado e todos os t do outro: \r
1r,dr = -2,t,dt

Passo 3

Integramos os dois lados: \r
integral 1r,dr = integral -2,t,dt \r
Isso dá \r
lnlvert rrvert = -t^2 + C, \r
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados obtemos a solução geral: \r
lvert rrvert = e^-t^2+C = e^C,e^-t^2 \r
Chamando e^C de constante arbitrária K, temos \r
r(t) = K,e^-t^2

Passo 5

Para satisfazer a condição inicial r(0)=r0: \r
r(0)=K,e^0=K = r0 \r
Logo a constante K vale r0 e a solução particular é \r
r(t) = r0,e^-t^2

Resposta

r(t) = r0,e^-t^2

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