Derivada de constantes e funções polinomiais
f(x)=x^{7}-2 x^{6}+3 x^{2}-4 x+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = x^{7} - 2x^{6} + 3x^{2} - 4x + 1
e pede f'(x). O conteúdo principal aqui é a regra do poder (para monômios) e o fato de que a derivada de uma constante é zero.

Passo 2

A regra do poder afirma que, para n\in\mathbb{R},
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr) = n\,x^{n-1},
e, além disso, para qualquer constante C,
\frac{d}{dx}\text{(C)} = 0.

Passo 3

Aplicando termo a termo em f(x):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{7}\bigr) = 7x^{6}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(-2x^{6}\bigr) = -2\cdot6\,x^{5} = -12x^{5},
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr) = 3\cdot2\,x = 6x, \quad \frac{d}{dx}\bigl(-4x\bigr) = -4, \quad \frac{d}{dx}(1) = 0.
Somando todos os resultados, obtemos
f'(x) = 7x^{6} - 12x^{5} + 6x - 4.

Resposta

f'(x) = 7x^{6} - 12x^{5} + 6x - 4.

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