A derivada do determinante é a soma dos determinantes das matrizes obtidas da original, diferenciando as linhas, uma por uma.

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada A(t) cujas entradas são funções diferenciáveis de t, vale a fórmula
ddtdet A(t) = sumj=1^n detl(A(t)r) com a (j)-ésima linha de (A(t)) substituída por sua derivada éí
O conteúdo aqui é a propriedade de multilinearidade do determinante e como ela permite “passar” a derivada para cada linha separadamente.

Passo 2

Lembremos que o determinante é uma forma multilinear em suas linhas: se isolamos a linha j, temos
detl(ldots,;Lj(t),;ldotsr)
linear em Lj(t). Logo, aplicando a derivada a essa linha, podemos usar a regra de derivação de bilinearidade (mais precisamente, de multilinearidade):
ddtdetl(ldots,;Lj(t),;ldotsr) = detl(ldots,;dot Lj(t),;ldotsr),
pois as demais linhas são constantes em relação à derivada parcial naquele termo.

Passo 3

Como o determinante é multilinear em todas as linhas ao mesmo tempo, ao derivarmos det A(t) obtemos a soma dos efeitos de derivar cada linha separadamente, mantendo as outras fixas. Ou seja,
ddtdet A(t) = sumj=1^n detl(L1(t),,dots,,dot Lj(t),,dots,,Ln(t)r),
onde Lj(t) é a j-ésima linha de A(t) e dot Lj(t) sua derivada componente a componente.

Passo 4

Para ver com mais clareza, escrevemos A(t)=(L1(t),dots,Ln(t)). Pela multilinearidade total:
detl(L1(t),dots,Lj(t),dots,Ln(t)r) ;xrightarrowddt; detl(L1,dots,dot Lj,dots,Lnr),
e somamos de j=1 a n. Isso é exatamente a soma dos determinantes das matrizes com cada linha diferentemente transformada.

Resposta

Portanto, comprovamos que
ddtdet A(t) = sumj=1^n detl(L1(t),,dots,,dot Lj(t),,dots,,Ln(t)r),
isto é, a derivada do determinante é a soma dos determinantes obtidos diferenciando uma única linha de cada vez.

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