A derivada do determinante é a soma dos determinantes das matrizes obtidas da original, diferenciando as linhas, uma por uma.
Passo 1
O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada cujas entradas são funções diferenciáveis de , vale a fórmula
O conteúdo aqui é a propriedade de multilinearidade do determinante e como ela permite “passar” a derivada para cada linha separadamente.
Passo 2
Lembremos que o determinante é uma forma multilinear em suas linhas: se isolamos a linha , temos
linear em . Logo, aplicando a derivada a essa linha, podemos usar a regra de derivação de bilinearidade (mais precisamente, de multilinearidade):
pois as demais linhas são constantes em relação à derivada parcial naquele termo.
Passo 3
Como o determinante é multilinear em todas as linhas ao mesmo tempo, ao derivarmos obtemos a soma dos efeitos de derivar cada linha separadamente, mantendo as outras fixas. Ou seja,
onde é a -ésima linha de e sua derivada componente a componente.
Passo 4
Para ver com mais clareza, escrevemos . Pela multilinearidade total:
e somamos de j=1 a n. Isso é exatamente a soma dos determinantes das matrizes com cada linha diferentemente transformada.