Sejam E uma base de V^3, u=(1,2,2)E, v=(m-1,1, m-2)E e w=(m+ 1, m-1,2)E.
Determine m in R de modo que os vetores u, v, w formem uma base de V^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de m tal que os vetores u = (1, 2, 2) , v = (m-1, 1, m-2) e w = (m+1, m-1, 2) formem uma base de R^3 . Isso está relacionado ao conteúdo de bases e independência linear. Para resolver, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que, em R^3, acontece se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz A com os vetores u , v e w como colunas:
A = 1 & m-1 & m+1 2 & 1 & m-1 2 & m-2 & 2

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base. Vamos calcular det(A) :
det(A) = 1 cdot 1 & m-1 m-2 & 2 - (m-1) cdot 2 & m-1 2 & 2 + (m+1) cdot 2 & 1 2 & m-2

Passo 4

Vamos calcular cada um dos menores:
  1. Primeiro menor:
1 & m-1 m-2 & 2 = (1)(2) - (m-1)(m-2) = 2 - (m^2 - 3m + 2) = 2 - m^2 + 3m - 2 = -m^2 + 3m
  1. Segundo menor:
2 & m-1 2 & 2 = (2)(2) - (m-1)(2) = 4 - 2(m-1) = 4 - 2m + 2 = 6 - 2m
  1. Terceiro menor:
2 & 1 2 & m-2 = (2)(m-2) - (1)(2) = 2m - 4 - 2 = 2m - 6

Passo 5

Substituindo os menores no determinante:
det(A) = 1 cdot (-m^2 + 3m) - (m-1) cdot (6 - 2m) + (m+1) cdot (2m - 6)
Vamos simplificar passo a passo:
det(A) = -m^2 + 3m - (m-1)(6 - 2m) + (m+1)(2m - 6)
Primeiro, multiplique (m-1)(6 - 2m) :
(m-1)(6 - 2m) = 6m - 2m^2 - 6 + 2m = -2m^2 + 8m - 6
Então:
det(A) = -m^2 + 3m - (-2m^2 + 8m - 6) + (m+1)(2m - 6)
Simplificando:
det(A) = -m^2 + 3m + 2m^2 - 8m + 6 + (m+1)(2m - 6)
Agora, calcule (m+1)(2m - 6) :
(m+1)(2m - 6) = 2m^2 - 6m + 2m - 6 = 2m^2 - 4m - 6
Substituindo de novo:
det(A) = -m^2 + 3m + 2m^2 - 8m + 6 + 2m^2 - 4m - 6

Passo 6

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
det(A) = (-m^2 + 2m^2 + 2m^2) + (3m - 8m - 4m) + (6 - 6)
Simplificando:
det(A) = (3m^2) + (-9m) + 0 = 3m^2 - 9m

Passo 7

Para que os vetores sejam uma base, o determinante deve ser diferente de zero:
3m^2 - 9m neq 0
Vamos fatorar:
3m(m - 3) neq 0
Isso significa que 3m neq 0 e m - 3 neq 0 , ou seja:
m neq 0 e m neq 3

Resposta

Os valores de m que fazem os vetores u , v e w formarem uma base de R^3 são todos os números reais exceto m = 0 e m = 3 . Ou seja, m in R tal que m neq 0 e m neq 3 .

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