Determine o núcleo e imagem da transformação linear T: M(2) M(2) dada por T([lla & b c & d])=[lla & 0 0 & d].

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
Tcolon M(2)to M(2), Tl(a & b c & dr) =a & 00 & d
Aqui o conteúdo é transformações lineares, núcleo (kernel) e imagem (range). Vamos usar as definições:
ker(T)=Xin M(2)mid T(X)=0.
Im(T)=T(X)mid Xin M(2).

Passo 2

Para achar ker(T) exigimos
Tl(a & b c & dr) =a & 00 & d =0 & 00 & 0
Isto força a=0 e d=0, mas não impõe condição em b,c. Logo
ker(T) =l0 & b c & 0;|;b,cin Rr
Uma base natural é
0 & 10 & 0, 0 & 01 & 0,
logo dimker(T)=2.

Passo 3

Para achar Im(T) observamos que todo Xin M(2) é levado em
Tl(a & b c & dr) =a & 00 & d,
ou seja, todas as matrizes diagonais possíveis. Assim
Im(T) =la & 00 & d;|;a,din Rr
Uma base natural é
1 & 00 & 0, 0 & 00 & 1,
logo dimIm(T)=2.

Resposta

ker(T)=l0 & b c & 0mid b,cin Rr,
Im(T)=la & 00 & dmid a,din Rr

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